Polyederformel 3-Regulärer Graph

Question

Sei G ein einfacher, zusammenhägender, planarer, 3-regulärer Graph.

G unterteilt die Ebene in 4 6-eckige und n 3-eckige Flächen.

Bestimmen Sie unter Verwendung der eulerschen Polyederformel (F - E + V = 2)

* n
* Die Anzahl der Kanten
* Die Anzahl der Knoten

von G.

Ansatz:
Mein Ansatz war erst n zu bestimmen mit  $\frac{4∗6+3∗n}{2} = ∣E∣$ (Da jeder 6-eckige Fläche 6 Kanten hat, und 3-eckige-Fläche 3 Kanten) - mir ist aber dann aufgefallen, dass das ja kein Gleich, sondern nur ein "Kleiner Gleich" ist, weil ich nicht einfach den ganzen Bruch durch 2 teilen kann - schließlich wurden nicht Alle Kanten doppelt gezählt, sondern nur die inneren.

Wenn ich da aber kein Gleichzeichen habe, weiss ich nicht wie ich weitermachen soll...

Comments

https://www.onlinemathe.de/forum/Anzahl-Knoten-und-Kanten-in-regulae…

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Wurde dort mittlerweile beantwortet!

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Aufgabe:

Gegeben ist ein einfacher, zusammenhängender, planarer, 3-regulärer Graph $G$, der die Ebene in 4 sechseckige und $n$ dreieckige Flächen unterteilt. Zu bestimmen sind:
1. $n$ (Anzahl der dreieckigen Flächen)
2. Die Anzahl der Kanten ($E$)
3. Die Anzahl der Knoten ($V$)

Ansatz und Lösungsweg:

1. Bestimmung der Anzahl der Kanten ($E$):

Ein 3-regulärer Graph bedeutet, dass jeder Knoten genau 3 Kanten hat.

Die Gesamtanzahl der Kanten kann durch die Anzahl der Flächen berechnet werden. Da wir vier 6-Ecke und $n$ 3-Ecke haben, ist die Gesamtanzahl der Kanten:

$E = \frac{6 \cdot 4 + 3n}{2}$

Hierbei werden die Kanten zweimal gezählt (einmal an jeder Flächenseite), daher teilen wir diesen Ausdruck durch 2:

$E = \frac{24 + 3n}{2}$

2. Verwendung der Eulerschen Polyederformel:

Die eulersche Polyederformel lautet:

$V - E + F = 2$

Hierbei ist $F$ die Anzahl der Flächen des Graphen. In unserem Fall ist:

$F = 4 + n$

$V$ ist die Anzahl der Knoten und $E$ die Anzahl der Kanten. Diese können wir mit unserer vorherigen Gleichung ausdrücken.

3. Beziehung zwischen Knoten und Kanten in einem 3-regulären Graph:

Da der Graph 3-regulär ist:

$3V = 2E$

Weil jede Kante zwei Enden hat und jeder Knoten von drei Kanten verbunden ist:

$E = \frac{3V}{2}$

Nun setzen wir diesen Wert von $E$ in die eulersche Polyederformel ein:

$V - \frac{3V}{2} + (4 + n) = 2$

4. Bestimmung der Anzahl der Knoten ($V$):

Um die Anzahl der Knoten zu bestimmen, lösen wir die Gleichung nach $V$ auf:

$V - \frac{3V}{2} + 4 + n = 2$

$V - \frac{3V}{2} = -2 - n$

$V - \frac{3V}{2} = -2 - n$

$-\frac{V}{2} = -2 - n$

$-V = -4 - 2n$

$V = 4 + 2n$

Da $E = \frac{3V}{2}$ ist, können wir $E$ nun ebenfalls bestimmen:

$E = \frac{3(4 + 2n)}{2} = 6 + 3n$

5. Bestimmung der Anzahl der Kanten und Flächen:

Nun haben wir:

$V = 4 + 2n$
$E = 6 + 3n$

Setzen wir diese zurück in die Polyederformel (zur Verifikation):

$V - E + F = 2$
$(4 + 2n) - (6 + 3n) + (4 + n) = 2$
$4 + 2n - 6 - 3n + 4 + n = 2$
$(4 - 6 + 4) + (2n - 3n + n) = 2$
$2 + 0 = 2$

Die Formel ist erfüllt!

Schlussfolgerung:

- Anzahl der dreieckigen Flächen ($n$): $n$
- Anzahl der Kanten ($E$): $6 + 3n$
- Anzahl der Knoten ($V$): $4 + 2n$