Berechnen Sie die Verteilung der Tiere auf die Reviere nach einem bzw nach zwei Jahren.

Question

Aufgabe:

Die Aufgabe sieht ihr auf den bild und zwar die Nummer 10a,b,c,d.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich anfangen soll. Könntet ihr mir einen Ansatz zu den jeweiligen Aufgaben geben. Ich wäre euch sehr dankbar!

Text erkannt:

10. Auswilderung und Revierwechsel ${ }^{*}$

In einem Waldgebiet W werden 180 mit Sendern ausgestattete Wildziegen ausgesetzt. Man stellt fest, dass sie zum Teil in ein benachbartes Tal T und in eine Hügellandschaft H wechseln. Die jährlichen Revierwechsel werden durch
\begin{tabular}{cccc}
& W & T & H \\
W & 0,8 & 0,2 & 0,2 \\
T & 0,1 & 0,2 & 0,4 \\
H & 0,1 & 0,6 & 0,4
\end{tabular}
die Tabelle rechts beschrieben.
a) Berechnen Sie die Verteilung der Tiere auf die Reviere nach einem bzw. nach zwei Jahren.
b) Bestimmen Sie den Fixvektor $\vec{v}$ des Prozesses (Ansatz: $M \cdot \vec{v}=\vec{v}$ ).
c) Bestimmen Sie die Revierverteilung nach zehn Jahren. Vergleichen Sie mit der stationären Verteilung aus Aufgabenteil b).
d) Bestimmen Sie die Revierverteilung nach zehn Jahren unter der Annahme, dass die Ziegen gleich zu Beginn gleichmäßig auf die Reviere verteilt werden. Vergleichen Sie mit dem Resultat von b) und begründen Sie das Ergebnis anschließend.
* Rechnet man im Zustandsvektor mit Anzahlen anstelle der Wahrscheinlichkeiten, so liefern folgende Revierverteilungen die im Mittel zu erwartenden Anzahlen, die jedoch nicht exakt eintreten müssen.

Answer 1

a) Bestimme erst einmal den Startvektor $v_0$. Allgemein gilt dann für die Verteilung nach $n$ Jahren: $v_n=M^nv_0$. Die Matrix kannst du der Tabelle ja direkt entnehmen.

b) Der Ansatz steht ja schon da. Das ist ein lineares Gleichungssystem. Schreibe das mal aus, indem du einfach mal $v=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ verwendest.

c) geht dann wie a). Vergleichen kannst du die Ergebnisse bestimmt selbst.

d) geht wie c), nur ist die Startverteilung, also der Vektor $v_0$ diesmal anders.

Melde dich bei Schwierigkeiten.

Answer 2

Aloha :)

Mach dir zunächst klar, was die Werte in der Matrix bedeuten:$$M=\left(\begin{array}{c|c} & \text{vorher}\\\hline\text{nachher} & \begin{array}{c|ccc} & W & T & H\\\hline W & 0,8 & 0,2 & 0,2\\T & 0,1 & 0,2 & 0,4\\H & 0,1 & 0,6 & 0,4\end{array} \end{array}\right)$$

Hier ein paar Lesebeispiele:

Nach einem Jahr sind 80% der Tiere vom Wald im Wald geblieben.

Nach einem Jahr sind 60% der Tiere vom Tal in die Hügel gegangen.

Nach einem Jahr sind 20% der Tiere von den Hügeln in den Wald gewandert

Die Verteilung der Tiere nach $n$ Jahren können wir durch einen Zustands-Vektor $\vec v_n$ darstellen, wobei der Startzustand $\vec v_0$ dadurch gegeben ist, dass zu Beginn 180 Tiere in dem Waldgebiet ausgesetzt werden:$$\vec v_n=\begin{pmatrix}w_n\\t_n\\h_n\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_0=\begin{pmatrix}180\\0\\0\end{pmatrix}$$

zu a) Hier reichen zwei einfache Matrix-Multiplikationen:$$\vec v_1=M\cdot\vec v_0=\left(\begin{array}{ccc}0,8 & 0,2 & 0,2\\0,1 & 0,2 & 0,4\\0,1 & 0,6 & 0,4\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}180\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}144\\18\\18\end{pmatrix}$$$$\vec v_2=M\cdot\vec v_1=\left(\begin{array}{ccc}0,8 & 0,2 & 0,2\\0,1 & 0,2 & 0,4\\0,1 & 0,6 & 0,4\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}144\\18\\18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}122,4\\25,2\\32,4\end{pmatrix}$$

zu b) Wenn die Verteilung der Tiere im Gleichgewicht ist, ändert sich der Zustands-Vektor $\vec v$ bei einem Übergang ins nächste Jahr nicht mehr. Das führt uns auf ein Gleichungssystem:$$\small\vec v=M\cdot\vec v\implies\begin{pmatrix}w\\t\\h\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,8w+0,2t+0,2h\\0,1w+0,2t+0,4h\\0,1w+0,6t+0,4h\end{pmatrix}\implies\left\{\begin{array}{c}-0,2w+0,2t+0,2h=0\\+0,1w-0,8t+0,4h=0\\+0,1w+0,6t-0,6h=0\end{array}\right\}$$

Die Lösung ist:$\quad\vec v\approx\left(90|37,5|52,5\right)^T$.

Die beiden nächsten Aufgaben sind für einen Automaten optimal:$$\text{zu c)}\quad v_{10}=M^{10}\cdot\begin{pmatrix}180\\0\\0\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}90,5442\\37,2959\\52,1599\end{pmatrix}$$$$\text{zu d)}\quad v_{10}=M^{10}\cdot\begin{pmatrix}60\\60\\60\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}89,8186\\37,5680\\52,6134\end{pmatrix}$$

Der Vergleich mit dem Gleichgewichtszustand und die Interpretation sollte nun einfach möglich sein ;)