Aus einem Gefäß mit 100 roten und blauen Kugeln wird ohne Zurücklegen gezogen.

Question

Hier eine nette Aufgabe an der das Internet gescheitert ist.

Wir haben ein undurchsichtiges Gefäß mit 100 Murmeln. n Murmeln sind rot und die anderen 100 - n Murmeln sind blau. Dabei ist n gleichverteilt im Intervall [0 ; 100]. Eine Murmel wird zufällig ohne Zurücklegen aus dem Gefäß gezogen. Die gezogene Kugel ist rot. Jetzt wird aus den verbleibenden 99 Kugeln erneut eine Kugel gezogen. Die zweite Kugel ist

a) eher rot als blau
b) eher blau als rot
c) mit der gleichen Wahrscheinlichkeit rot oder blau
d) ich weiß es nicht

Answer 1

Die Wahrscheinlichkeit, dass die nächste Kugel rot ist, ist doppelt so groß, also a).

Sei \(1_R\) das Ereignis "erste Kugel rot" und \(2_R\) das Ereignis "zweite Kugel rot".

Gesucht ist \(P(2_R|1_R)=\frac{P(2_R\cap 1_R)}{P(1_R)}\).

Nach dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit gilt:

\(P(1_R)=\frac{1}{101}\sum\limits_{k=0}^{100} \frac{k}{100}=\frac{5050}{10100}=\frac{1}{2}\)

\(P(1_R\cap 2_R)=\frac{1}{101}\sum\limits_{k=0}^{100} \frac{k(k-1)}{9900}=\frac{1}{101}\cdot \frac{101}{3}=\frac{1}{3}\)

Damit ergibt sich für die bedingte Wahrscheinlichkeit von oben:

\(P(2_R|1_R)=\frac{P(2_R\cap 1_R)}{P(1_R)}=\frac{1}{3}\cdot 2=\frac{2}{3}\).

Comments

Ist das wirklich unabhängig von n?

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Ja, erstaunlicherweise.

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Beispiel: n= 20: 20 rote, 80 blaue

Nach dem 1. Zug sind noch 19 rote drin.

Dass im 2. nun eine rote kommt, hat die WKT 19/99, dass eine blaue kommt 80/99.

Also hat Blau die höhere WKT.

Wo ist der Fehler? Was stimmt an dieser Rechnung nicht?

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Wenn es um Wahrscheinlichkeiten geht, sind alle Fälle zu berücksichtigen. Du hast nur den Fall n=20. Wo sind die anderen 100 Fälle?

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Stimmt. Es steht ja noch da:

Dabei ist n gleichverteilt im Intervall [0 ; 100].

Jetzt verstehe ich auch dein Summenzeichen. Danke.