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Aufgabe:

a) DIe Gleichung \(x^2+y^2-z^2=1 \) ist eine 2-dim Untermannigfaltigkeit H von \(\mathbb{R}^2\),

b) Sei E die Ebene in \(\mathbb{R}^3\) mit der Gleichung z=0, zeigen Sie, dass durch jeden Punkt von \(E\cap H\) genau zwei Geraden gehen, die vollständig in der Fläche H enthalten sind.


Problem/Ansatz:

Teilaufgabe a habe ich angefangen zu beweisen, in dem ich mir eine Funktion definiert habe und dann geschaut habe, ob diese Funktion für das Urbild von 0 submersiv ist, also die Ableitung nicht verschwindet.

Bei Teilaufgabe b habe ich bis jetzt keinen wirklichen Ansatz, außer, dass ich versucht habe mit irgendwelchen Geraden \(y_1=m_1x_1+b_1\) irgendwie eine Gleichheit zu finden, aber da komme ich nicht wirklich weiter...

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Wir sind hier in \(\R^3\), da sehen Geradengleichungen nicht wie in der Schule aus.

Ja, stimmt.

Dann müsste man ja die Parameterdarstellung oder so nutzen oder geht das anders besser, Aufgabneteil b) zu beweisen?

da sehen Geradengleichungen nicht wie in der Schule aus.

Hm.

Setze halt eine Parameterdarstellung für eine Gerade durch einen Punkt auf dem Kreis \(E\cap H\) an. Bestimmen einen Richgungsvektor so dass die Gerade in H liegt, also die Gleichung für H erfüllt.

zur Veranschaulichung:

blob.png

klick auf das Bild, dann findest Du links oben auf der Webseite einen Slider, den Du mit der Maus verschieben kannst.

1 Antwort

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Beste Antwort

Es liegt nahe zu vermuten, dass die gesuchten Geraden in der jeweiligen Tangentialebene zu einem Punkt aus \(E \cap H\) liegen. Das probieren wir als Ansatz:

$$H=\{(x,y,z)\,: \, f(x,y,z)= x^2+y^2-z^2-1=0\}$$

Um Schreibarbeit zu sparen, schreiben wir für Punkte \(p\) in \(E\cap H\) einfach

\(p = (c,s,0)\) mit \(c=\cos t\) und \(s=\sin t\) mit \(t\in [0,2\pi]\)


Tangentialebene \(T_p\) in \(p\):$$\nabla f(p) = \begin{pmatrix} 2c & 2s & 0 \end{pmatrix}$$$$T_p:\: \nabla f(p)\cdot \begin{pmatrix} x - c\\ y-s \\ z \end{pmatrix}=0 \Leftrightarrow c(x-c)+s(y-s)=0$$$$\stackrel{c^2+s^2=1}{\Rightarrow} \boxed{T_p: \: cx+sy=1}\quad (1)$$

Jetzt setzen wir (1) in die Gleichung für \(H\) ein und schauen, was passiert:

\(\stackrel{(1), s\neq 0}{\Rightarrow} y=\frac 1s(1-cx) \quad (2)\)

Den Fall \(s=0\) behandelst du kurz in einer zusätzlichen Rechnung.

\(\stackrel{(2),(1)}{\Longrightarrow} x^2+\frac 1{s^2}(1-cx)^2-z^2-1= 0 \ldots \)

... jetzt etwas rechnen und \(c^2+s^2=1\) benutzen ... Ergebnis:

\((x-c)^2-(sz)^2 = (x-c-sz)(x-c+sz)=0\)

Das sind zusammen mit (1) exakt zwei Geraden in \(H\) durch \((c,s,0)\):

Die Schnittgerade der Ebenen (1) und der Ebene \(x-c-sz= 0\):

\(\begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c\\s \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} s\\-c \\ 1 \end{pmatrix} \)

Die Schnittgerade der Ebenen (1) und der Ebene \(x-c+sz= 0\):

\(\begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c\\s \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -s\\c \\ 1 \end{pmatrix} \)

Hier ist eine 3D-Veranschaulichung. Mit den Knöpfen 5, 6 und 7 kannst du die Ebenen ab- und zuschalten.


Jetzt brauchen wir nur noch ein gutes Argument, wieso die gesuchten Geraden in der Tangentialebene liegen müssen. Vielleicht hat jemand eine Idee. :-)

Avatar von 11 k

Der Ansatz, die Geraden einfach rechnerisch zu bestimmen liefert die Parameterdarstellung

(c,s,0)+ t(s,-c,1)

Und entsprechend mit -1

Vielen Dank für die Antwort!!

Das hat mir sehr weitergeholfen!

Könntest du noch kurz sagen, warum x-c-z und x-c+sz Geraden sind? Bzw. wie ist eben speziell die Funktionsgleichung dieser geraden?

@jstntllr

Ich hab zu deiner Frage etwas in meiner Antwort ergänzt.

Ich denke aber, dass Mathhilfs vorgeschlagener Weg der schnellere/effektivere ist.

Dafür ist meiner aber "mannigfaltiger". :-D

Ich habe doch noch eine Frage zu deiner Rechnung:

Wie kommt man darauf, dass man die Tangentialebene für Punkte auf dem EInheitskreis nehmen muss? Es könnte ja auch sein, dass die gesuchte Gerade nicht in der Tangentialeben liegt oder nicht?

Danke!

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