Zeigen Sie, dass P_{0}(x), P_{1}(x), P_{2}(x), P_{3}(x) eine Basis für ℝ[x]_{≤ 3} bilden.

Question

Aufgabe:

Es sei
\(\mathbb{R}[x]_{\leq 3}=\left\{a x^{3}+b x^{2}+c x+d \mid a, b, c, d \in \mathbb{R}\right\}\)
der Vektorraum aller reellen Polynome vom Grad \( \leq 3 \). Ferner seien
\(P_{0}(x)=1, P_{1}(x)=x, P_{2}(x)=\frac{3}{2} x^{2}-\frac{1}{2}, P_{3}(x)=\frac{5}{2} x^{3}-\frac{3}{2} x\)
1. Zeigen Sie, dass \( P_{0}(x), P_{1}(x), P_{2}(x), P_{3}(x) \) eine Basis für \( \mathbb{R}[x]_{\leq 3} \) bilden. Schreiben Sie \( x^{2} \) und \( x^{3} \) als Linearkombinationen der \( P_{i}(x), i=0, \ldots, 3 \).
2. Finden Sie eine Formel, die ein beliebiges Polynom \( a x^{3}+b x^{2}+c x+d \in \mathbb{R}[x]_{\leq 3} \) als Linearkombination der \( P_{i}(x) \) ausdrückt.

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{cccc|c}0 & 0 & 0 & \frac{5}{2} & x_{0} \\ 0 & 0 & \frac{3}{2} & 0 & x_{1} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{-3}{2} & x_{2} \\ 1 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 & x_{3}\end{array}\right) \)

inwiefern soll mir diese matrix bei der aufgabe helfen und ist das eine gängige Methode? Sehe das zum ersten Mal

Answer 1

Du brauchst Faktoren t_0, t_1, t_2, t_3 so, dass

t_0 * 1 + t_1 * x + t_2 * (1,5x²-0,5) + t_3 * (2,5x³ -1,5x) = x²

bzw.

t_0 * 1 + t_1 * x + t_2 * (1,5x²-0,5) + t_3 * (2,5x³ -1,5x) = x³

bzw.

t_0 * 1 + t_1 * x + t_2 * (1,5x²-0,5) + t_3 * (2,5x³ -1,5x) = ax³ + bx² + cx + d gilt.

Für die erste Aufgabe müsste die letzte Spalte

0

0

1

0

lauten. Für die zweite Aufgabe entsprechend

0

0

0

1

und für die dritte

d

c

b

a

Comments

Ergänzung: Die drei Gleichungen müssen für alle \(x\) gelten, denn es geht um die Gleichheit von Funktionen (welche gegeben ist, wenn alle Funktionswerte an den jeweiligen Stellen gleich sind).