Summen dreier natürlicher Kuben

Question

Welchen größten gemeinsamen Teiler hat die Menge aller Summen dreier aufeinanderfolgender natürlicher (einschließlich der Null) Kuben. Beweise deine Hypothese, aber nicht mit vollständiger Induktion.

Comments

Ist 0 für dich eine natürliche Zahl? ;) Es würde helfen, die Rätsel präziser zu stellen, auch wenn es hier die Antwortzahl nicht verändert.

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(n-1)³+n³+(n+1)³ = n³-3n²+3n-1+n³+ n³+3n²+3n+1 = 3n³+6n = 3n*(n²+2)

Bin ich damit auf dem richtigen Weg?

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simple mind, deine Termumformung ist richtig und später wichtig. Aber zuerst brauchst du eine Hypothese.

Answer 1

Wegen $0^3+1^3+2^3=9$ kommen als größter gemeinsamer Teiler nur die Zahlen $1$, $3$ und $9$ in Frage.

Hypothese: der ggT all dieser Summen ist 9.

Beweis:

$(n-1)^3+n^3+(n+1)^3=n^3-3n^2+3n-1+n^3+n^3+3n^2+3n+1=3n^3+6n=3(n^3+2n)$

Dieser Ausdruck ist offenbar durch 3 teilbar. Bleibt zu zeigen, dass $n^3+2n=n(n^2+2)$ ebenfalls durch 3 teilbar ist. Dazu betrachten wir die Reste, die $n$ bei Division mit 3 lassen kann:

1. $n\equiv 0 \mod 3$:

Dann ist $0(0^2+2)=0$ und der Ausdruck somit durch 3 teilbar.

2. $n\equiv 1\mod 3$:

Dann ist $1(1^2+2)=3$ und der Ausdruck durch 3 teilbar.

3. $n\equiv 2\mod 3$:

Dann ist $2(2^2+2)=12$ und der Ausdruck durch 3 teilbar.

Für jeden Rest, den $n$ mit 3 lassen kann, ist der Ausdruck also durch 3 teilbar. Zusammen mit dem Resultat von oben erhalten wir insgesamt die Teilbarkeit durch 9.

Alternativ kann man auch direkt den Rest von

$(n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3$ modulo 9 betrachten. Einer dieser Summanden lässt den Rest 0, einer 1 und einer 2. Damit gilt

$0^3+1^3+2^3=9 \equiv 0 \mod 9$.

Das ist sogar wesentlich eleganter, weil der Beweis dann schon direkt vor der Hypothese steht. ;)

Comments

Das geht ohne Fallunterscheidung noch etwas eleganter, wenn man n²+2

als n²-1+3=(n-1)(n+1)+3 schreibt.

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Stimmt. Damit ist die Teilbarkeit durch 3 von

$n(n^2+2)=(n-1)n(n+1)+3n$

sofort ersichtlich.

Answer 2

Durch Zusammenfassen sieht man, dass $9$ immer ein Teiler ist. Falls wir $0$ als natürliche Zahl auffassen, dann ist $9$ auch das erste und kleinste Folgenglied und damit der $\mathrm{ggT}$ gefunden. Tun wir das nicht, wäre das erste Folgenglied zwar $36$, aber die anderen Teiler verschwinden sofort nach betrachten des nächsten Gliedes.

Eine interessante Folgefrage wäre: Ist für beliebige $i<j$ "weit genug auseinander" (ich vermute $i+c<j$ reicht aus für ein $c$) der $\mathrm{ggT}$ nur der $i$-ten bis $j$-ten Folgenglieder ebenfalls $9$?

Comments

Was ist das für ein 'Zusammenfassen', an dem man sieht, dass 9 immer ein Teiler ist? Hast du deinen Text vor dem Absenden durchgelesen?