Die spannende Frage ist, wie du einfachem Wege zeigen kannst, dass μ stetig von unten ist. Das erscheint mir deutlich komplizierter als der in meiner Antwort skizzierte gesamte Weg.
Wenn du aber zeigen kannst (z.B. weil du einen passenden aus der Vorlesung bekannten Zusammenhang anwenden kannst), dass μ stetig von unten ist, ist der Weg hin zu limn→∞μ((a,bn])=0 auch damit machbar:
Überlege dir μ((a,bn])=μ((a,b1])−μ((bn,b1]) für alle n∈N∖{0} und wende die Stetigkeit von unten auf die Folge (Cn)n∈N∖{0} mit Cn : =(bn,b1] für alle n∈N∖{0} an.