Doppelintegral mit I(R) (Aufgabenverständnis)

Question

Aufgabe:

a) Berechnen Sie für

$\mathbb{B} = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \; \middle|\; x^2 + y^2 \leq R^2 \right\}$

den Wert des Integrals

$I(R) = \iint_{\mathbb{B}} e^{-x^2} \cdot e^{-y^2} \, d(x, y)$

in Abhängigkeit von $R \in (0, \infty)$. Bestimmen Sie weiterhin den Grenzwert

$\lim_{R \to \infty} I(R)$

b) Nutzen Sie das Ergebnis aus a) und bestimmen Sie das uneigentliche Integral

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx.$

Problem/Ansatz:

Ich habe an sich keine großen Probleme, ich will nur sicherstellen ob ich die Aufgaben richtig verstanden habe.

Hier mein Rechenweg für a):

$I(R) = \iint_{\mathbb{B}} e^{-x^2} \cdot e^{-y^2} \, d(x, y)$

$= \iint_{\mathbb{B}} e^{-(x^2 + y^2)} \, d(x, y)$

Hier bin ich mir nicht sicher ob ich die Grenzen richtig gesetzt habe...

$= \int_0^R \int_0^{2\pi} e^{-r^2} \, r \, d\theta \, dr$

$= \int_0^R \left( \int_0^{2\pi} r \, e^{-r^2} \, d\theta \right) dr$

$= \int_0^R 2\pi \, r \, e^{-r^2} \, dr$

$= 2\pi \int_0^R r \, e^{-r^2} \, dr$

Substitution: $u = r^2 \Rightarrow du = 2r \, dr \Rightarrow r \, dr = \frac{du}{2}$

$= 2\pi \int_0^{R^2} e^{-u} \, \frac{du}{2}$

$= \pi \int_0^{R^2} e^{-u} \, du$

$= \pi \left[ -e^{-u} \right]_0^{R^2}$

$= \pi \left( -e^{-R^2} + e^0 \right)$

$= \pi (1 - e^{-R^2})$

Grenzwert:

$\lim_{R \to \infty} I(R) = \lim_{R \to \infty} \pi (1 - e^{-R^2})$

$= \pi (1 - 0) = \pi$

Und Aufgabe b):

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx$

$\left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \right)^2 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \cdot \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} \, dy$

$= \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2 + y^2)} \, d(x, y)$

$= \lim_{R \to \infty} I(R) = \pi$

$\left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \right)^2 = \pi$

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}$

Habe ich das soweit alles richtig gemacht, bzw. die Aufgaben und Anwendung richtig verstanden?

Danke im voraus

Answer 1

Ich meine, das ist alles genau richtig so.

Comments

OK, danke. Gut zu wissen

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PS: Eine Stammfunktion zu $2\,r\,e^{-r^2}$ darf man auch gerne direkt hinschreiben, ohne formal substituieren zu müssen.