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Ich hätte eine Frage bzgl.Fehlerfortpflanzung. Ich habe folgende Funktion f(x)= (1-x)/(1+x2). Ich habe mal folgenden Algorithmus (falls dieser geht) durchgedacht. x--->(-x,x2)--->(1-x,1+x2)--->(1-x)/(1+x2). Ok und ich muss von f jetzt die Ableitung bestimmen, aber ich verstehe nicht ganz wie ich diese Fehlerfortpflanzung jetzt genau bestimme im großen und ganzem bestimme. Also die fixe Vorgehensweise habe ich noch nicht durchschaut. Könnte mir das jemand erklären? Im Internet steht jetzt auch nichts Hilfreiches dazu,

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Es ist unklar, was Du genau willst.

Ok, man hat ein fehlerbehaftetes x.
Wenn man f(x) auswertet und für die Fehlerfortpflanzung f'(x) benutzt, geht man davon aus, dass f(x) exakt(!) ausgewertet wird (exakt mit dem fehlerbehafteten x).

Wenn man f(x) nicht exakt auswertet, kommt es darauf an, wie man es genau auswertet. Du hast einen(!) Algorithmus vorgeschlagen. Du gehst vermutlich davon aus, dass x->x2 exakt ausgewertet wird. Jedenfalls müsste man all' diese Annahmen kennen und formulieren(!). Dann die übliche Fehlerfortpflanzungsregel mit allen zwischengeschalteten anderen Funktionen anwenden.

Andere Rechenwege, um auf f(x) zu kommen, mit anderen Annahmen, liefern andere Abschätzungen für den Fehler.

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Aloha :)

Wenn eine Funktion ff von nn Messgrößen x1,,xnx_1,\ldots,x_n abhängt, die jeweils eine Messungenauigkeit δxi\delta x_i aufweisen, pflanzen sich die einzelnen Fehler in das Ergebnis der Funktion ff hinein fort. Der Fehler des Funktionswertes ist dann:(δf)2=i=1nk=1nfxifxkρikδxiδxk(\delta f)^2=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{k=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\cdot\frac{\partial f}{\partial x_k}\cdot\rho_{ik}\cdot\delta x_i\cdot\delta x_k

Dabei ist ρik\rho_{ik} der Korrelationskoeffizient zwischen den Messgrößen xix_i und xkx_k.

Wenn alle Messwerte unabhängig voneinander sind, ist der Korrelationskoeffizient zwischen zwei unterschiedlichen Werten xix_i und xkx_k gleich null. Das heißt ρik=0\rho_{ik}=0, falls iki\ne k. Der Korrelationskoeffizeint von einer Messgröße xkx_k mit sich selbst ist ρkk=1\rho_{kk}=1. Daher gilt für nn unabhängige Messwerte:(δf)2=k=1n(fxkδxk)2(\delta f)^2=\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{\partial f}{\partial x_k}\cdot\delta x_k\right)^2

Im konkreten Fall hängt die Funktion ff nur von einer Variablen ab, daher ist:(δf)2=(fxδx)2    δf=fxδx(\delta f)^2=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\delta x\right)^2\quad\implies\quad\delta f=\left|\frac{\partial f}{\partial x}\right|\cdot\delta x

Du bestimmst hier also von deiner Funktionf(x)=1x=u1+x2=vf(x)=\frac{\overbrace{1-x}^{=u}}{\underbrace{1+x^2}_{=v}}mittels der Quotientenregel die erste Ableitung:fx=(1)=u(1+x2)=v(1x)=u2x=v(1+x2)2=v2=1x22x+2x2(1+x2)2=x22x1(1+x2)2\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\overbrace{(-1)}^{=u'}\cdot\overbrace{(1+x^2)}^{=v}-\overbrace{(1-x)}^{=u}\cdot\overbrace{2x}^{=v'}}{\underbrace{(1+x^2)^2}_{=v^2}}=\frac{-1-x^2-2x+2x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(1+x^2)^2}

Der Fehler der Funktion ff an der Stelle xx mit der Messunsicherheit δx\delta x lautet also:δf=x22x1(1+x2)2δx\delta f=\left|\frac{x^2-2x-1}{(1+x^2)^2}\right|\cdot\delta x

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