Bestimmen Sie die Lösung von A \vec{x}=\vec{b} in der Form \vec{x}=\vec{x}0+\lambda1 …

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Kann mir einer sagen, wie der Professor auf die Werte von u1,u2 und u3 gekommen ist?


Das ist die Aufgabe bIMG_1276.jpeg

Text erkannt:

Aufgabe 1. Gegeben sei
A=(12−14124012412183),b⃗=(341) A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & -1 & 4 & 1 \\ 2 & 4 & 0 & 12 & 4 \\ 1 & 2 & 1 & 8 & 3 \end{array}\right), \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right)
a) Prüfen Sie, ob v⃗=(−1,1,3,1,−2)⊤ \vec{v}=(-1,1,3,1,-2)^{\top} und w⃗=(0,2,−1,−1,2)⊤ \vec{w}=(0,2,-1,-1,2)^{\top} Lösungen von Ax⃗=b⃗ A \vec{x}=\vec{b} sind.
b) Bestimmen Sie die Lösung von Ax⃗=b⃗ A \vec{x}=\vec{b} in der Form x⃗=x⃗0+λ1u⃗1+⋯+λku⃗k \vec{x}=\vec{x}_{0}+\lambda_{1} \vec{u}_{1}+\cdots+\lambda_{k} \vec{u}_{k} , wobei λ1,…,λk \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{k} die freien Parameter sind. Rechnen Sie explizit nach, dass u1,…,uk∈Kern⁡A u_{1}, \ldots, u_{k} \in \operatorname{Kern} A ist.

IMG_1275.jpeg

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6.) A=(12−1413240144121831)−I→(12−141300242−200242−2)→(12−141300242−2000000)⋅12 A=\left(\begin{array}{ccccc|c}1 & 2 & -1 & 4 & 1 & 3 \\ 2 & 4 & 0 & 1 & 4 & 4 \\ 1 & 2 & 1 & 8 & 3 & 1\end{array}\right)_{-I} \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc|c}1 & 2 & -1 & 4 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 2 & -2\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc|c}1 & 2 & -1 & 4 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \cdot \frac{1}{2}
∼(12−141000121000000−10) \sim\left(\begin{array}{cccc|c}1 & 2 & -1 & 4 & 1 \\ 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 \\ 0\end{array}\right) \quad Rang A=2⇒5−2=3 A=2 \Rightarrow 5-2=3 frie Parometer Wähle x2=h1,x4=K2,x5=K3 x_{2}=h_{1}, x_{4}=K_{2}, x_{5}=K_{3}
2. Zile: x3+2x4+x5=−1⇔x3+2x2+k3=−1⇔x3=−1−2k2−x3 x_{3}+2 x_{4}+x_{5}=-1 \Leftrightarrow x_{3}+2 x_{2}+k_{3}=-1 \Leftrightarrow x_{3}=-1-2 k_{2}-x_{3}
1. Zeile: x1+2x2−x3+4x4+x5=3⇔x1+2x1−(−1−2x2−k3)+4x2+x3=3 x_{1}+2 x_{2}-x_{3}+4 x_{4}+x_{5}=3 \Leftrightarrow x_{1}+2 x_{1}-\left(-1-2 x_{2}-k_{3}\right)+4 x_{2}+x_{3}=3 ⇔x1+2x1+1+2x2+k3+4x2+x3=3 \Leftrightarrow x_{1}+2 x_{1}+1+2 x_{2}+k_{3}+4 x_{2}+x_{3}=3
⇔x1=2−2x1−6x2−2x3 \Leftrightarrow x_{1}=2-2 x_{1}-6 x_{2}-2 x_{3}
⇔x1=2−2x1−6x2−2x3 \Leftrightarrow x_{1}=2-2 x_{1}-6 x_{2}-2 x_{3}
U⃗ \vec{U} zeigen: u⃗1,v⃗2,v⃗3∈Kem⁡A1 \vec{u}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} \in \operatorname{Kem} A_{1} d.h. Av⃗i=0 A \vec{v}_{i}=0 für i=1,2,3 i=1,2,3
Au⃗1=(−2+2−4+4−2+2)=(000),AU⃗2=(−6+2+4−12+0+12−6−2+8)=(000),Au⃗3=(−2+1+1−4+0+4−2−1+3)=(000) A \vec{u}_{1}=\left(\begin{array}{l} -2+2 \\ -4+4 \\ -2+2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \quad A \vec{U}_{2}=\left(\begin{array}{l} -6+2+4 \\ -12+0+12 \\ -6-2+8 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), A \vec{u}_{3}=\left(\begin{array}{l} -2+1+1 \\ -4+0+4 \\ -2-1+3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)

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Lies das in blau. Was ist daran genau unklar?

von

Ja wie kommt sie z.B. bei u1 -2+2, -4+4, -2+2, hab grad einen Denkfehler :(

von

Das ist nur eine Matrix-Vektormultiplikation. Rechne A⋅u1A\cdot u_1.

von

Ich komme immer noch nicht auf die Zahlen, wenn ich die Matrix A * u multipliziere komme ich bei der ersten Zeile auf 2+1

von

Es ist doch 1⋅(−2)+2⋅11\cdot (-2) + 2\cdot 1 ...

von

IMG_1277.jpeg

Text erkannt:

(1−12011102−12032−210−216)⋅(−2100)1⋅(−2)+(−1)⋅1+2⋅0+0⋅0+1⋅0=−2−1=−3 \begin{array}{l}\left(\begin{array}{ccccc}1 & -1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 3 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & -2 & 1 & 6\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \\ 1 \cdot(-2)+(-1) \cdot 1+2 \cdot 0+0 \cdot 0+1 \cdot 0 \\ =-2-1 \\ =-3\end{array}


aber ich komme auf das

von

Ahhh hab den Fehler gefunden, hab die ganze Zeit die falsche Matrix genommen, vielen Dank!! Bin jetzt glücklich :,,)

von

Ich wollt doch schon sagen... Schön, dass du es bemerkt hast.

von

Ich wollte fragen, woran erkennt man welche freien Parameter man benötigt? Zum Beispiel woher weiß ich, dass x4 und x3 meine freien Parameter sein sollen? Gibt es da so einen Trick?

von

Es bleibt dir überlassen, welche Parameter du frei wählst.

von

wäre das so richtig?



Text erkannt:

Bonusaufgabe
a.)
A=(1−12011102−12032−210−216),C⃗=(1114)Ax⃗=c⃗(1−120111102−112032−2110−2164)]+(−1)∼(1−1201102−22−202032−2110−2164)]+(−2)→(1−1201102−22−2002−12−4−110−2164)]+(−1)→(1−1201102−22−2002−12−4−101−4153)]+(−1)∼(1−1201102−22−200010−2−101−4153)C]+(−12)∼(1−1201102−22−200010−2−100−3063)c]+(3) \begin{array}{l} A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 3 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & -2 & 1 & 6 \end{array}\right) \quad, \quad \vec{C}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right) \\ A \vec{x}=\vec{c} \\ \left.\left.\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & 3 & 2 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & -2 & 1 & 6 & 4 \end{array}\right)\right]+(-1) \sim\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & 2 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & 3 & 2 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & -2 & 1 & 6 & 4 \end{array}\right)\right]+(-2) \\ \left.\left.\rightarrow\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 2 & -4 & -1 \\ 1 & 0 & -2 & 1 & 6 & 4 \end{array}\right)\right]+(-1) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 2 & -4 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & 1 & 5 & 3 \end{array}\right)\right]+(-1) \\ \left.\left.\sim\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & 1 & 5 & 3 \end{array}\right){ }_{C}\right]+\left(-\frac{1}{2}\right) \quad \sim\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -3 & 0 & 6 & 3 \end{array}\right) c\right]+(3) \end{array}
∼(1−1201102−22−200010−2−1000000) Rang A=3⇒5−3=2 froble x4=λ1,x5=λ2 \sim\left(\begin{array}{ccccc|c}1 & -1 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \quad \begin{array}{l}\text { Rang } A=3 \Rightarrow 5-3=2 \text { froble } x_{4}=\lambda_{1}, x_{5}=\lambda_{2}\end{array}

Text erkannt:

 III. x3+x4−2x5=−1⇔x3−2x2=−1∣+2x2⇔x3=2x2−1 \begin{array}{l} \text { III. } x_{3}+x_{4}-2 x_{5}=-1 \\ \Leftrightarrow x_{3}-2 x_{2}=-1 \quad \mid+2 x_{2} \\ \Leftrightarrow \quad x_{3}=2 x_{2}-1 \end{array}
 II. 2x2−2x3+2x4−2x5=0⇔2x2−2⋅(2x2−1)+2⋅h1−2⋅l2=0⇔2x2−4l2+2+2l1−2l2=0⇔2x2−6K2+2+2K1=0⇔2x2=−2k1+6k2−21 : 2⇔x2=−K1+3K2−1 \begin{array}{l} \text { II. } 2 x_{2}-2 x_{3}+2 x_{4}-2 x_{5}=0 \\ \Leftrightarrow 2 x_{2}-2 \cdot\left(2 x_{2}-1\right)+2 \cdot h_{1}-2 \cdot l_{2}=0 \\ \Leftrightarrow 2 x_{2}-4 l_{2}+2+2 l_{1}-2 l_{2}=0 \\ \Leftrightarrow 2 x_{2}-6 K_{2}+2+2 K_{1}=0 \\ \Leftrightarrow 2 x_{2}=-2 k_{1}+6 k_{2}-2 \quad 1: 2 \\ \Leftrightarrow x_{2}=-K_{1}+3 K_{2}-1 \end{array}
Ix1−x2+2x3+x4+x5=1⇔x1−1⋅(−K1+3K2−1)+2⋅(2K2−1)+0+K2=1⇔x1+K1−3K2+1+4−2+K2=1⇔x1−2K2+K1+3=1⇔x1=2K2−K1−3 \begin{aligned} & I x_{1}-x_{2}+2 x_{3}+x_{4}+x_{5}=1 \\ \Leftrightarrow & x_{1}-1 \cdot\left(-K_{1}+3 K_{2}-1\right)+2 \cdot\left(2 K_{2}-1\right)+0+K_{2}=1 \\ \Leftrightarrow & x_{1}+K_{1}-3 K_{2}+1+4-2+K_{2}=1 \\ \Leftrightarrow & x_{1}-2 K_{2}+K_{1}+3=1 \\ \Leftrightarrow & x_{1}=2 K_{2}-K_{1}-3 \end{aligned}

von

Schaut gut aus.

von

danke, hab gemerkt dass ich bei zeile 1 einem fehler gemacht habe


IMG_1280.jpeg

Text erkannt:

 I. x1−x2+2x3+x4+x5=1⇔x1−1⋅(−x1+3K2−1)+2⋅(2K2−1)+0+K2=1⇔x1+K1−3k2+1+4k2−2+K2=1⇔x1+K1+2K2−1=1⇔x1=−K1−2x2+2 \begin{aligned} & \text { I. } x_{1}-x_{2}+2 x_{3}+x_{4}+x_{5}=1 \\ \Leftrightarrow & x_{1}-1 \cdot\left(-x_{1}+3 K_{2}-1\right)+2 \cdot\left(2 K_{2}-1\right)+0+K_{2}=1 \\ \Leftrightarrow & x_{1}+K_{1}-3 k_{2}+1+4 k_{2}-2+K_{2}=1 \\ \Leftrightarrow & x_{1}+K_{1}+2 K_{2}-1=1 \\ \Leftrightarrow & x_{1}=-K_{1}-2 x_{2}+2\end{aligned}

von

Stimmt. Und x4x_4 kommt ja gar nicht vor. Das solltest du dann von Anfang an weglassen.

von

Ich habe ausversehen meine Matrikelnummer mit veröffentlicht, kann die Antwort gelöscht werden bitte? :,(

von
📘 Siehe "Matrix" im Wiki

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Gefragt 16 Sep 2024 von Sanam.nuri