Aufgabe:
Unter Berücksichtigung der Ergebnisse aus Aufgabe 8.1 definieren wir den natürlichen Logarithmus
\( \ln :(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \exp ^{-1}[x] \)
als die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion (Sie dürfen in dieser Aufgabe also davon ausgehen, dass \( \exp : \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty) \) bijektiv ist). Beweisen Sie ausgehend von dieser Definition die folgenden Eigenschaften des natürlichen Logarithmus:
(a) \( \ln [1]=0 \) und \( \ln [e]=1 \), wobei \( e \in \mathbb{R} \) die Eulersche Zahl ist.
(b) \( \ln :(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) ist streng monoton steigend.
(c) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \ln \left[\frac{1}{n}\right]=-\infty \) und \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \ln [n]=\infty \).
(d) Für \( x, y>0 \) ist \( \ln [x \cdot y]=\ln [x]+\ln [y] \) und \( \ln \left[\frac{x}{y}\right]=\ln [x]-\ln [y] \).
Problem/Ansatz:
