Stetigkeit in einem Punkt beweisen

Question

Wir haben mit Stetigkeit angefangen, leider habe ich das noch nicht richtig verstanden. Ich habe gestern schon die ganze Zeit versucht, die Aufgabe zu machen:

Zeigen Sie, dass

(a)

f:ℝ→ℝ, \( f(x) = \frac { x ^ { m } - 1 } { x ^ { n } - 1 } , \text { falls } x \neq 1 \text { bzw. } \frac { m } { n } , \text { falls } x = 1  \)

mit m,n∈ℕ und n≠0 stetig im Punkt x₀=1 ist.

(b)

f:ℂ→ℝ, \(  f(x+iy) = \frac { x y } { \sqrt { x ^ { 4 } + y ^ { 4 } } } \text { falls } x + i y \neq 0 \text { bzw. } 0 \text { für } x + i y = 0  \)

NICHT stetig ist in x₀=0.

Hinweis: Betrachten Sie eine geeignete Nullfolge {x_n+iy_n}_n∈ℕ.

Kann mir bitte jemand helfen und vielleicht erklären, wie man das macht?

Answer 1

a) Mit der Regel von l'Hospital erhält man:

$$ \lim _ { x \rightarrow 1 } \frac { x ^ { m } - 1 } { x ^ { n } - 1 } = \lim _ { x \rightarrow 1 } \frac { m x ^ { m - 1 } } { n x ^ { n - 1 } } = \lim _ { x \rightarrow 1 } \frac { m } { n } x ^ { m - n } = \frac { m } { n }$$

Also ist die Funktion im Punkt 1 stetig.

b) Im Komplexen ist die Stetigkeit etwas schwerer. Es reicht nicht aus zu zeigen, dass die Funktion aus einer Richtung gegen den gegebenen Wert konvergiert, sie muss es aus allen Richtungen tun. Um also zu zeigen, dass sie nicht stetig ist, reicht es, eine einzige Richtung zu finden, in der sie nicht gegen 0 konvergiert.

Auf dem "geraden" Weg also z.B. für x_n = 1/n und y_n=0 sowie für x_n=0 und y_n = 1/n ist die Funktion identisch 0, diese Wege sind für den Beweis also nicht geeignet.

Nimmt man aber einfach den Weg x_n=y_n=1/n, dann erhält man:

$$ f \left( x _ { n } + i y _ { n } \right) = \frac { \frac { 1 } { n } \frac { 1 } { n } } { \sqrt { \frac { 1 } { n ^ { 4 } } + \frac { 1 } { n ^ { 4 } } } } = \frac { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } { \sqrt { \frac { 2 } { n ^ { 4 } } } } = \frac { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } { \frac { \sqrt { 2 } } { n ^ { 2 } } } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \neq 0 $$

Also ist die Funktion in 0 nicht stetig.