0 Daumen
150 Aufrufe

Aufgabe:


Die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) sei definiert durch


\( f\left(x_{1}, x_{2}\right):=\left\{\begin{array}{cll} \frac{\log \left(1+x_{1}^{2} x_{2}^{2}\right) x_{2}^{2}}{\sqrt{x_{1}^{4}+x_{2}^{4}}} & , \quad\left(x_{1}, x_{2}\right) \neq(0,0) \\ 0 & ,\left(x_{1}, x_{2}\right)=(0,0) \end{array}\right. \)


Zeigen Sie, dass \( f \) stetig ist.


Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass \( f \) an der Stelle \( (0,0) \) stetig ist. Zeigen Sie im Anschluss daran, dass \( f \) sogar auf ganz \( \mathbb{R}^{2} \) stetig ist.



Problem/Ansatz:

von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Stetigkeit in (0,0):

ich zeige \(f(x_1,x_2)\rightarrow 0\) für \((x_1,x_2)\rightarrow (0,0)\) mit \((x_1,x_2)\neq (0,0)\)

Wegen \(0\leq \log(1+x)\leq x\) für alle \(x\geq 0\) gilt

\(0\leq \log(1+x_1^2x_2^2)\leq x_1^2x_2^2\), also

\(0\leq f(x_1,x_2)=\frac{\log(1+x_1^2x_2^2)x_2^2}{\sqrt{x_1^4+x_2^4}}\leq \frac{x_1^2x_2^4}{\sqrt{x_1^4 + x_2^4}}\).

Wegen \((x_1,x_2)\neq (0,0)\) müssen wir die Fälle \(x_1\neq 0\) und \(x_2\neq 0\) betrachten:

\(x_1\neq 0\Rightarrow f(x_1,x_2)\leq \frac{x_1^2x_2^4}{\sqrt{x_1^4}}=x_2^4\).

\(x_2\neq 0\Rightarrow f(x_1,x_2)\leq \frac{x_1^2x_2^4}{\sqrt{x_2^4}}=x_1^2x_2^2\).

Beide Fälle kann man zusammenfassen:

\(0\leq f(x_1,x_2)\leq \max(x_2^4,x_1^2x_2^2)=x_2^2\cdot \max(x_2^2,x_1^2)\rightarrow 0\)

für \((x_1,x_2)\rightarrow (0,0)\).

von 5,7 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community