Anhängen von Zahlen an x

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Gegeben sei x. Nun hängt man an die ganze Zahl x die Zahl 7 oder 1 an und dann wieder 7 oder 1 und das unendlich oft. Warum ist die so gebildete Zahl dann irgendwann durch 3 teilbar?
Gefragt 7 Jul 2012 von Gast ie4611

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Erstmal: eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme, also die Summe aller ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist.

 

Eine weitere hilfreiche Methode, ist das Modulare Rechnen, also das Rechnen mit Resten.

Die Definition lautet:
n%k := Der Rest bei der Teilung von n durch k. (gesprochen: n modulo k)

n und k sind natürliche Zahlen.

Z.B:

10%4 = 2, denn 10/4 = 2 Rest 2

14%5 = 4, denn 14/5 = 2 Rest 4

 

Ein wichtiges Rechengesetz ist das folgende:
(a+b)%k = (a%k+b%k)%k

 

Außerdem ist klar: k ist Teiler von n genau dann, wenn n%k = 0 gilt.

Ferner auch: x%3 ∈ {0,1,2}. Teilt man eine Zahl durch 3, so bleibt als Rest entweder 0, 1 oder 2, aber nie eine größere Zahl.

7 und 1 besitzen bei Teilung durch 3 beide den Rest 1.

Mit der Faustregel ganz oben folgt also:

xyz%3 = (x+y+z)%3 = (x%3+y%3+z%3)%3

wobei xyz hier kein Produkt, sondern eine Aneinanderreihung von Ziffern ist.

Man erkennt, dass durch das Anhängen einer 7 oder 1 der Rest bei Teilung durch 3 stets um 1 erhöht wird.


Für die Ausgangszahl x gibt es 3 Möglichkeiten:
a) x%3 = 0

Bereits x ist durch 3 teilbar. Außerdem ist jede Zahl die aus x hervorgeht, indem man je dreimal eine Zahl (1 oder 7) daran anhängt durch 3 teilbar. (So z.B. x711 oder x777 oder x717117)

b) x%3 = 1

Hängt man zwei Ziffern hinten dran, dann ist die entstehende Zahl durch drei teilbar. Genauso jede Zahl mit 5,8,11,... angehängten Ziffern. (z.B. x71, x11177)

c) x%3 = 2

Hier reicht es eine einzige Zahl hinten anzuhängen, sowie 4,7,10 Ziffern und so weiter. (z.B. x7, x1111)

 

Ein paar Beispiele noch:
Sei die gewählte Zahl 127 gewesen. Die Quersumme beträgt 1+2+7=10, also gilt 127%3 = 1. Man muss also zwei Zahlen hinten anhängen, z.B. zwei Einsen.

12711=3*4237

also tatsächlich durch drei teilbar.

x = 8 => 87 = 3*29

 

Und so weiter.

 

 

Beantwortet 7 Jul 2012 von Julian Mi Experte X

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