Lineare Algebra/Analytische Geometrie - Niveau 1

Question

Aufgabe:

Gegeben ist das Gleichungssystem

I 2x + z = 0

II -y + 2z = 0

III 2y + bz = 1

mit x,y,z ∈ ℝ. Untersuchen Sie in Abhängigkeit von b mit b ∈ ℝ die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems; geben Sie gegebenenfalls die Lösungen an.

Problem/Ansatz:

Also ich habe versucht das Gleichungssystem auszurechnen und hätte zuerst 2*II + III gerechnet, dann hätte ich

III bz + 4z = 1

Darf ich das dann geteilt durch b rechnen? Weil so hätte ich es auf jeden Fall gemacht, aber meine Mitschüler haben was anderen für z. Wie muss ich hier vorgehen? Bin für jeden Ansatz sehr dankbar.

Comments

III bz + 4z = 1

Darf ich das dann geteilt durch b rechnen?

Was bringt dir das?

Erstens darfst du das nur machen, wenn b garantiert nicht Null ist

Zweitens würdest du mit dieser Operation

$z+\frac{4}{b}z=\frac{1}{b}$

erhalten. Sowas nennt man in Fachkreisen "verschlimmbessern".

Wenn schon, dann klammere erst mal z aus zu

(b+4)z=1.

Dann darfst die eine Fallunterscheidung zwischen b=-4 und b≠-4 machen.

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Hab ich im Prinzip genauso schon gesagt...

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Das Wesentliche hast du nicht gesagt. Der Fragesteller hatte sicher nicht damit gerechnet, was der Rechenbefehl "geteilt durch b" unabhängig vom Fall b=0 mit dem Rest der Gleichung macht. Es ist halt mehr als nur das kurzsichtige Entfernen des Faktors b vom Teilterm bx.

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"Was bringt dir das?" hast Du gesagt, ich hatte wörtlich das gleiche gesagt. Mit diesem Hinweis wird - so meine Annahme - der FS schon merken, was seine Idee taugt. Vorrechnen muss man das nicht.

Answer 1

b·z + 4·z = 1

b ist doch eine einfache Zahl, die du nur vom Wert nicht kennst. Daher stell dir dort einfach mal eine Zahl vor und entscheide wie du dann weiterverfahren würdest

5·z + 4·z = 1

Würdest du jetzt durch 5 teilen oder 5·z + 4·z = 9·z zusammenfassen? Ich denke letzteres, oder? Also fasst du auch zusammen, indem du z ausklammerst

b·z + 4·z = 1
(4 + b)·z = 1
z = 1/(4 + b)

Nun gibt es für fast alle reellen Zahlen für b eine Lösung für z, nur für b = -4 gibt es keine Lösung.

Nun kannst du noch mit der Lösung für z auch x und y bestimmen.

2·x + z = 0 --> x = - z/2 = - 1/(2·(b + 4))

-y + 2·z = 0 --> y = 2·z = 2/(b + 4)

Answer 2

Kannst Du machen, aber was bringt Dir das? Du suchst ja $z$.

Wenn Du durch irgendwas dividierst, musst Du sicherstellen, dass das $\neq 0$ ist bzw. den Fall $=0$ gesondert behandeln.

Answer 3

Du kannst die Determinante der Matrix $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & b \end{pmatrix}$ bestimmen.

Das Ergebnis ist $\det(A) = -2b - 8$

Ein Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, wenn $\det(A) \ne 0$ gilt. Das gilt hier für $b \ne -4$.

D.h. die Lösungen sind $$\mathbb{L} = \left( x= -\frac{1}{2b + 8} \ , \ y = \frac{2}{b + 4} \ , \ z = \frac{1}{b + 4} \right)$$

Jetzt muss noch der Fall $b = -4$ untersucht werden.

Die erweiterte Matrix ist

$$(A|b) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & b & 1 \end{pmatrix}$$

Und daraus erkennt man, dass es im Fall $b = -4$ keine Lösung gibt.

Mall schauen, welche schlauen Kommentare es von den bekannten Protagonisten dazu gibt.

Comments

Mall schauen, welche schlauen Kommentare es von den bekannten Protagonisten dazu gibt.

So etwas kannst du dir sparen.

Aber du bekommst natürlich einen schlauen Kommentar: Determinanten werden im Abitur in der Regel nicht behandelt, weshalb die Antwort für den FS wenig hilfreich sein dürfte.