Der Ball verschwindet je höher die Dimension wird

Question

In X := R^n sei λ^n das Lebesgue-Maß auf der Borelschen σ-Algebra. Es geht es um den Einheitsball B^n := {x ∈ X : ||x|| < 1} um 0 bzw. seinem Abschluss mit der ,,kleiner-gleich‘‘ Relation. (Beim Lebesgue-Maß sind Abschluss und Inneres gleich, denn die Einheitsspähre, welche beide differenziert, ist eine (n-1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit von X und somit eine λ^n -Nullmenge)

Dann sei (V_n) die Folge der n-dimensionalen Volumina von B^n. Also V_n := λ^n(B^n).

Diese ist gegeben als eine reelle Nullfolge (wie genau die Folge aussieht ist für die Frage jetzt egal).

Mathematisch kann man also zeigen, dass V_n —> 0 für n —> unendlich. In Worten heißt das, dass der Ball im Unendlichdimensionalen eine Nullmenge und somit fast nicht present ist. Er verschwindet also quasi. Jedoch macht es für mich intuitiv gar kein Sinn und ich kann mir es auch nicht ansatzweise vorstellen. Kann mir das jemand geometrisch erklären?

Comments

Ja, das ist einerseits interessant, zeigt aber nur, das das Problem unsere Intuition ist. Wir übertragen unsere 3D Anschauung auf n-Dimensionen und das funktioniert offensichtlich nicht.

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Hast du aber eine Idee, was da passiert?

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Man kann nur die Formeln interpretieren. Spannend ist ja auch der Vergleich mit dem n-dimensionalen Einheitswürfel, der den Einheitsball beinhaltet (Kantenlänge also 2). Dessen Volumen wächst mit 2ⁿ , der Ball darin schrumpft.

Ab etwa n=5 schrumpft das Volumen, ab etwa n=7 die Oberfläche des Balles.

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Kann mir das jemand geometrisch erklären?

Überlege dir mal, was mit einem "2-D-Ball" (sprich: Kreis) im 3D-Raum ist.

Es ist nicht viel.

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Das Volumen des Einheitswütfels E = [0,1)^n wächst doch nicht. Für alle n gilt λ^n(E) = 1 —> 1.

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Ich hatte ja extra dabei geschrieben Kantenlänge 2: der Würfel , der den Einheitsball mit Radius 1 umfaßt. Die Terminologie ist beim ‚Einheitswürfel‘ nicht einheitlich.

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abakus deine Aussage macht aber wenig Sinn bezüglich meines Problems. Es ist natürlich völlig klar, dass der Einheitskreis K = {(x,y,0) : x^2 + y^2 < 1} im dreidimensionalen Raum kein Volumen hat. Genauso hat eine Ebene T = {(x,y,z) : z fest} im R^3 kein Volumen. Der Kreis K und die Ebene T sind eben k-dimensionale Untermannigfaltigkeiten mit k < 3 im R^3. Der Ball B^n hingegen ist offene Teilmenge des R^3 und eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit.

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user da hast du Recht. Dann redest du warscheinlich von D^n = [0,2)^n (Translationen ändern das Maß ja nicht). Dann gilt natürlich deine Aussage λ^n(D^n) = 2^n divergiert für wachsende n bestimmt. Erstaunlicher finde ich jedoch trotzdem den Einheitwürfel, welcher bei höherer Dimensiom immer gleichvolumiös bleibt, während der Ball darin schrumpft.

Also scheint es dann wirklich dafür keine intuitive Erklärung zu geben…

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Eigentlich ist es schon einigermassen intuitiv: Wenn du zufällig ein Element aus dem Würfel \([-1, 1]^d\) wählst, ist die Wahrscheinlichkeit für grosse \(d\) ziemlich gering, dass das Element im Einheitsball liegt. Du wählst ja jede Koordinate zufällig verteilt aus \([-1, 1]\), und je mehr Koordinaten dein Zufallvektor hat, desto mehr Elemente summierst du bei der Berechnung des Betrags.

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Wenn du zufällig ein Element aus dem Würfel \([-1, 1]^d\) wählst

Der Würfel hat das Volumen \(2^d\). Das heißt dass die Wahrscheinlichkeit, im Einheitsball zu landen, bei wachsendem \(d\) kleiner wird, könnte an dem größeren Volumen des Würfels liegen.

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Wirklich intuitiv ist das alles nicht. Am besten scheint mir noch die Vorstellung, wieviel Platz zwischen dem Einheitsball und dem Einheitswürfel (Kantenlänge 2) ist, der den Ball umschließt.

Beim Kreis n=2 liegen etwa 21,5% außerhalb des Kreises, sozusagen in den Ecken. Für n=3 schon 47,6%, für n=4 etwa 69% und für n=5 bereits ca. 84%.

Die Einschränkung x²₁ + x²₂ + … + x²_n ≤ 1 wird für große n immer ‚schwieriger‘. Immer weniger Punkte erfüllen die Bedingung, dass die Koordinaten alle gleichzeitig sehr klein sein müssen.