Aloha :)
Du hast hier zwei unendliche konvergierende Reihen:$$e^x=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k\quad;\quad a_k=\frac{x^k}{k!}\quad\text{und}\quad e^y=\sum\limits_{\ell=0}^\infty b_k\quad;\quad b_k=\frac{y^\ell}{\ell!}$$
Bei der Multiplikation der beiden Reihen kannst du das Distributivgesetz anwenden und jeden Summanden der einen Reihe mit allen Summanden der anderen Reihen multiplizieren. Die erhaltenen Produkte kannst du dann alle addieren:$$\begin{array}{c|c}\cdot & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & \cdots\\\hline b_0 & a_0b_0 & a_1b_0 & a_2 b_0 & a_3b_0 & a_4b_0 & \cdots\\b_1 & a_0b_1 & a_1b_1 & a_2 b_1 & a_3b_1 & a_4b_1 & \cdots\\b_2 & a_0b_2 & a_1b_2 & a_2 b_2 & a_3b_2 & a_4b_2 & \cdots\\ b_3 & a_0b_3 & a_1b_3 & a_2 b_3 & a_3b_3 & a_4b_3 & \cdots\\b_4 & a_0b_4 & a_1b_4 & a_2 b_4 & a_3b_4 & a_4b_4 & \cdots\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \ddots\end{array}$$
Du wählst \(a_0=1\) und \(a_1=x\) sowie \(b_1=0\) und \(b_1=y\) aus und berechnest die oberen 4 Produkte:$$\begin{array}{c|c}\cdot & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & \cdots\\\hline b_0 & \pink{1\cdot 1} & \pink{x\cdot1} & a_2 b_0 & a_3b_0 & a_4b_0 & \cdots\\b_1 & \pink{1\cdot y} & \pink{x\cdot y} & a_2 b_1 & a_3b_1 & a_4b_1 & \cdots\\b_2 & a_0b_2 & a_1b_2 & a_2 b_2 & a_3b_2 & a_4b_2 & \cdots\\ b_3 & a_0b_3 & a_1b_3 & a_2 b_3 & a_3b_3 & a_4b_3 & \cdots\\b_4 & a_0b_4 & a_1b_4 & a_2 b_4 & a_3b_4 & a_4b_4 & \cdots\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \ddots\end{array}$$
Offensichtlich fehlen dir unendlich viele Produkte in deiner Betrachtung. Daher multipliziert man unendliche Reihen "diagonal" nach Cauchy. Auf den Diagonalen ist die Summe der Indizes immer gleich:$$\begin{array}{c|c}\cdot & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & \cdots\\\hline b_0 & \pink{a_0b_0} & \green{a_1b_0} & \blue{a_2 b_0} & \orange{a_3b_0} & \red{a_4b_0} & \cdots\\b_1 & \green{a_0b_1} & \blue{a_1b_1} & \orange{a_2 b_1} & \red{a_3b_1} & a_4b_1 & \cdots\\b_2 & \blue{a_0b_2} & \orange{a_1b_2} & \red{a_2 b_2} & a_3b_2 & a_4b_2 & \cdots\\ b_3 & \orange{a_0b_3} & \red{a_1b_3} & a_2 b_3 & a_3b_3 & a_4b_3 & \cdots\\b_4 & \red{a_0b_4} & a_1b_4 & a_2 b_4 & a_3b_4 & a_4b_4 & \cdots\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \ddots\end{array}$$
Wenn du Cauchy's Idee formal aufschreibst, sieht das etwa so aus:$$e^x\cdot e^y=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}\cdot \sum\limits_{\ell=0}^\infty\frac{y^\ell}{\ell!}=\sum\limits_{\green n=0}^\infty\sum\limits_{\pink{k+\ell=n}}\frac{x^k}{k!}\cdot\frac{y^\ell}{\ell!}$$
Der Index \(\green{n}\) wird neu eingeführt und beschreibt die Diagonale, indem er die Summe der beiden Indizes festlegt. Da \(\green n\) von \(0\) bis \(\infty\) läuft, werden alle Diagonalen durchlaufen. Die Summation entlang einer Diagonale erfolgt nun über alle Indizes \(\pink k\) und \(\pink\ell\), deren Summe \(\green n\) entspricht. Anstatt \(\pink{k+\ell=n}\) zu fordern, können wir auch \(k\) von \(0\) bis \(n\) laufen lassen, dann ist \(\ell=n-k\) automatisch festgelegt:$$\phantom{e^x\cdot e^y}=\sum\limits_{\green n=0}^\infty\sum\limits_{\pink k=0}^{\green n}\frac{x^k}{k!}\cdot\frac{y^{\overbrace{\pink{n-k}}^{\pink{=\ell}}}}{(\underbrace{\pink{n-k}}_{\pink{=\ell}})!}$$Jetzt erweitern wir noch mit \(\blue{n!}\) und verwenden den binomischen Lehrsatz:$$\phantom{e^x\cdot e^y}=\sum\limits_{\green n=0}^\infty\frac{1}{\blue{n!}}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{\blue{n!}}{k!\cdot(n-k)!}\,x^ky^{n-k}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{{n-k}}$$$$\phantom{e^x\cdot e^y}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}(x+y)^n=e^{x+y}$$
Das Produkt der unendlichen konvergenten Reihen \(e^x\) und \(e^y\) ist also gleich der unendlichen konvergenten Reihe von \(e^{x+y}\).