Was besagt die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion?

Question

Hallo, ich arbeite mit dem Buch Otto Forser, Florian Lindemann und versuche dort die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion zu verstehen.

Satz 8.4 Für alle \(x,y \in \mathbb{R}\) gilt \(exp(x+y) = exp(x)exp(y)\).

Verstehe ich es richtig, dass dieser Satz sich ausschließlich auf den Grenzwert und nicht auf die exp-Reihe selbst bezieht? Wenn ja, dann habe ich, denke ich, alles richtig verstanden. Ansonsten verstehe ich ihn nicht ganz. Wenn hier wirklich die Reihe exp gemeint ist, dann wieso gibt es ein \(=\) Zeichen? Es sind für mich nicht die gleichen Objekte. Beim zweiten Element der Folge (eine Reihe ist ja eine Folge) hätten wir auf der linken Seite \(1+x+y\) und auf der rechten Seite \((1+x)(1+y)=1+x+y+xy\) somit sind für mich die beiden Reihen nicht gleich und dieser Satz kann sich nur auf die Grenzwerte beziehen.

Comments

Ob das herangezogen werden kann, kann ich dir nicht sagen:

https://www.mathelounge.de/932162/funktionalgleichung-funktion-alternativen-beweis-konstant

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Du mußt immer die Ausdrücke mit demselben Grad vergleichen, dann stimmt es. Du hast links bis Grad 1 und rechts einen Term vom Grad 2 (xy) dazugenommen.

Wenn Du richtig vergleichst, sind alle Summenterme links und rechts gleich.

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Ist mit exp(x) insbesondere der Ausdruck e^x gemeint?

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Natürlich.       .

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@user26605, wo ist denn mein Denkfehler?

\(exp_1(x+y) = \sum \limits_{n=0}^{1} {(x+y)^n \over n!} = 1+x+y \)


\(exp_1(x)exp_1(y) = \sum \limits_{n=0}^{1} {x^n \over n!} \sum \limits_{n=0}^{1} {y^n \over n!} = (1+x)(1+y)=1+x+y+xy\)

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@Roland:

Exponentialreihe für jedes \(x \in \mathbb{R}\), \(exp(x) := \sum_{n}^{\infty} {x^n \over n!}\)

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Sagte ich schon, Du mußt richtig vergleichen:

Grad 0: 1= 1

Grad 1: x+y = x+y

Grad 2: 1/2 x² + xy + 1/2 y² = 1/2 x2 + xy + 1/2 y2

Etc.

Der Term für n=1 links muß nicht identisch mit dem Term für n=1 rechts  sein, rechts ist etwas anders geklammert, sonst nichts.

Answer 1

und auf der rechten Seite \((1+x)(1+y)=1+x+y+xy\)

Nein. Reihen werden mittels des Cauchy-Produkts multipliziert und nicht gliedweise. Das heißt bei

        \(\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_{n}\right)\cdot\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}b_{n}\right)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}c_{n}\)

ist

        \(c_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\).

Also

        \(\begin{aligned}c_{0}&=\sum\limits_{k=0}^{0}1\cdot1 = 1\\c_{1}&=\sum_{k=0}^{1}\frac{x^{k}}{k!}\frac{y^{1-k}}{\left(1-k\right)!}\\&=\frac{x^{0}}{0!}\cdot\frac{y^{1-0}}{\left(1-0\right)!}+\frac{x^{1}}{1!}\cdot\frac{y^{1-1}}{\left(1-1\right)!}\\&=y+x\end{aligned}\)

Comments

@oswald: Naja, laut Forster Buch ist nicht wirklich gesagt was es eigentlich bedeutet zwei unendliche Reihen zu multiplizieren. Es wird dort mithilfe zwei absolut konvergenter Reihen, eine neue absolut konvergente Reihe definiert (was man als Couchy-Produkt von Reihen bezeichnet) und ebenfalls bewiesen, dass die neue Reihe gegen das Produkt der beiden Grenzwerte konvergiert. Wenn ich also \( exp(x)exp(y) \) als eine Multiplikation zweier Reihen interpretieren würde, dann wüsste ich streng genommen nicht, was es ist. Klar, man kann sich das als eine Reihe mit

\( c_n \) Gliedern denken, was du geschrieben hast und dann haut die Gleichung auch hin und es ist möglicherweise auch so gemeint, aber so wirklich definiert wurde es nicht. Und wenn man es nur als Grenzwerte betrachtet, dann ist es zumindest konsistent was die Klarheit der Definitionen angeht.

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Naja, laut Forster Buch ist nicht wirklich gesagt was es eigentlich bedeutet zwei unendliche Reihen zu multiplizieren.

Dann solltest du das Buch nochmal genauer lesen, vgl. Satz 8.3.

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Ich habe mich in meinem Post genau auf den Satz 8.3 bezogen.

"Es wird dort mithilfe zwei absolut konvergenter Reihen, eine neue absolut konvergente Reihe definiert (was man als Couchy-Produkt von Reihen bezeichnet) und ebenfalls bewiesen, dass die neue Reihe gegen das Produkt der beiden Grenzwerte konvergiert."

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Dann ergibt der von mir zitierte Satz ja keinen Sinn. In Satz 8.1 ist außerdem definiert, was unter \(\mathrm{exp}(x)\) zu verstehen ist. Zu Beginn des Abschnitts zu unendlichen Reihen, wird auch die Problematik in der Antwort von nudger erklärt: Im Falle der Konvergenz meint man mit der Schreibweise den Grenzwert. Damit dürfte also klar sein, dass in Satz 8.4 die Grenzwerte und nicht die Folgen der Partialsummen gemeint sind.

Answer 2

Ja, Dein erster Satz ist richtig: Die angegebene Funktionalgleichung bezieht sich auf die Funktionswerte, also die Grenzwerte der jeweiligen Reihen.

Da bei Reihen immer (mindestens) endlich viele Summanden vertauscht werden können, ohne dass sich der Reihenwert ändert, ist ein Vergleich der Partialsummenfolgen nur für spezielle Zwecke sinnvoll. Dies zeigt ja auch Dein Problem.

Answer 3

auf den Grenzwert und nicht auf die exp-Reihe selbst bezieht

Ja. Die Verwirrung rührt vermutlich von der Doppelbedeutung der Reihe \(\sum\limits_{n=0}^\infty...\). Bei der Def. \(\exp(x):=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\) ist der Grenzwert gemeint, und so wird es in der Gleichung auch verwendet.

Andererseits gibt es auch die Bedeutung einer Reihe \(\sum\limits_{n=0}^\infty...\) als Folge, genauer: als Folge der Partialsummen \((\sum\limits_{n=0}^k...)_{k\in N}\), das wäre ein ganz anderes Objekt. Insb. auch nicht die e-Funktion und daher in der Gleichung auch nicht gemeint.

Eines der wenigen Fälle, wo ein math. Symbol zwei versch. Bedeutungen hat, was manchmal zu Verwirrung führt.

Comments

Daher ist auch immer der Kontext wichtig und man sollte noch einmal weiter vorne im Buch schauen. Satz 8.3 erklärt nämlich genau, was das Cauchy-Produkt ist, wie man es verwendet und dass es für den Beweis der Funktionalgleichung benötigt wird.

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Ja, für den Beweis, aber zum Verständnis der Gleichung nicht.

Answer 4

Aloha :)

Du hast hier zwei unendliche konvergierende Reihen:$$e^x=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k\quad;\quad a_k=\frac{x^k}{k!}\quad\text{und}\quad e^y=\sum\limits_{\ell=0}^\infty b_k\quad;\quad b_k=\frac{y^\ell}{\ell!}$$

Bei der Multiplikation der beiden Reihen kannst du das Distributivgesetz anwenden und jeden Summanden der einen Reihe mit allen Summanden der anderen Reihen multiplizieren. Die erhaltenen Produkte kannst du dann alle addieren:$$\begin{array}{c|c}\cdot & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & \cdots\\\hline b_0 & a_0b_0 & a_1b_0 & a_2 b_0 & a_3b_0 & a_4b_0 & \cdots\\b_1 & a_0b_1 & a_1b_1 & a_2 b_1 & a_3b_1 & a_4b_1 & \cdots\\b_2 & a_0b_2 & a_1b_2 & a_2 b_2 & a_3b_2 & a_4b_2 & \cdots\\ b_3 & a_0b_3 & a_1b_3 & a_2 b_3 & a_3b_3 & a_4b_3 & \cdots\\b_4 & a_0b_4 & a_1b_4 & a_2 b_4 & a_3b_4 & a_4b_4 & \cdots\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \ddots\end{array}$$

Du wählst \(a_0=1\) und \(a_1=x\) sowie \(b_1=0\) und \(b_1=y\) aus und berechnest die oberen 4 Produkte:$$\begin{array}{c|c}\cdot & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & \cdots\\\hline b_0 & \pink{1\cdot 1} & \pink{x\cdot1} & a_2 b_0 & a_3b_0 & a_4b_0 & \cdots\\b_1 & \pink{1\cdot y} & \pink{x\cdot y} & a_2 b_1 & a_3b_1 & a_4b_1 & \cdots\\b_2 & a_0b_2 & a_1b_2 & a_2 b_2 & a_3b_2 & a_4b_2 & \cdots\\ b_3 & a_0b_3 & a_1b_3 & a_2 b_3 & a_3b_3 & a_4b_3 & \cdots\\b_4 & a_0b_4 & a_1b_4 & a_2 b_4 & a_3b_4 & a_4b_4 & \cdots\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \ddots\end{array}$$

Offensichtlich fehlen dir unendlich viele Produkte in deiner Betrachtung. Daher multipliziert man unendliche Reihen "diagonal" nach Cauchy. Auf den Diagonalen ist die Summe der Indizes immer gleich:$$\begin{array}{c|c}\cdot & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & \cdots\\\hline b_0 & \pink{a_0b_0} & \green{a_1b_0} & \blue{a_2 b_0} & \orange{a_3b_0} & \red{a_4b_0} & \cdots\\b_1 & \green{a_0b_1} & \blue{a_1b_1} & \orange{a_2 b_1} & \red{a_3b_1} & a_4b_1 & \cdots\\b_2 & \blue{a_0b_2} & \orange{a_1b_2} & \red{a_2 b_2} & a_3b_2 & a_4b_2 & \cdots\\ b_3 & \orange{a_0b_3} & \red{a_1b_3} & a_2 b_3 & a_3b_3 & a_4b_3 & \cdots\\b_4 & \red{a_0b_4} & a_1b_4 & a_2 b_4 & a_3b_4 & a_4b_4 & \cdots\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \ddots\end{array}$$

Wenn du Cauchy's Idee formal aufschreibst, sieht das etwa so aus:$$e^x\cdot e^y=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}\cdot \sum\limits_{\ell=0}^\infty\frac{y^\ell}{\ell!}=\sum\limits_{\green n=0}^\infty\sum\limits_{\pink{k+\ell=n}}\frac{x^k}{k!}\cdot\frac{y^\ell}{\ell!}$$

Der Index \(\green{n}\) wird neu eingeführt und beschreibt die Diagonale, indem er die Summe der beiden Indizes festlegt. Da \(\green n\) von \(0\) bis \(\infty\) läuft, werden alle Diagonalen durchlaufen. Die Summation entlang einer Diagonale erfolgt nun über alle Indizes \(\pink k\) und \(\pink\ell\), deren Summe \(\green n\) entspricht. Anstatt \(\pink{k+\ell=n}\) zu fordern, können wir auch \(k\) von \(0\) bis \(n\) laufen lassen, dann ist \(\ell=n-k\) automatisch festgelegt:$$\phantom{e^x\cdot e^y}=\sum\limits_{\green n=0}^\infty\sum\limits_{\pink k=0}^{\green n}\frac{x^k}{k!}\cdot\frac{y^{\overbrace{\pink{n-k}}^{\pink{=\ell}}}}{(\underbrace{\pink{n-k}}_{\pink{=\ell}})!}$$Jetzt erweitern wir noch mit \(\blue{n!}\) und verwenden den binomischen Lehrsatz:$$\phantom{e^x\cdot e^y}=\sum\limits_{\green n=0}^\infty\frac{1}{\blue{n!}}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{\blue{n!}}{k!\cdot(n-k)!}\,x^ky^{n-k}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{{n-k}}$$$$\phantom{e^x\cdot e^y}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}(x+y)^n=e^{x+y}$$

Das Produkt der unendlichen konvergenten Reihen \(e^x\) und \(e^y\) ist also gleich der unendlichen konvergenten Reihe von \(e^{x+y}\).