Aloha :)
Du hast hier zwei unendliche konvergierende Reihen:ex=k=0∑∞ak;ak=k!xkundey=ℓ=0∑∞bk;bk=ℓ!yℓ
Bei der Multiplikation der beiden Reihen kannst du das Distributivgesetz anwenden und jeden Summanden der einen Reihe mit allen Summanden der anderen Reihen multiplizieren. Die erhaltenen Produkte kannst du dann alle addieren:⋅b0b1b2b3b4⋮a0a0b0a0b1a0b2a0b3a0b4⋮a1a1b0a1b1a1b2a1b3a1b4⋮a2a2b0a2b1a2b2a2b3a2b4⋮a3a3b0a3b1a3b2a3b3a3b4⋮a4a4b0a4b1a4b2a4b3a4b4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋱
Du wählst a0=1 und a1=x sowie b1=0 und b1=y aus und berechnest die oberen 4 Produkte:⋅b0b1b2b3b4⋮a01⋅11⋅ya0b2a0b3a0b4⋮a1x⋅1x⋅ya1b2a1b3a1b4⋮a2a2b0a2b1a2b2a2b3a2b4⋮a3a3b0a3b1a3b2a3b3a3b4⋮a4a4b0a4b1a4b2a4b3a4b4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋱
Offensichtlich fehlen dir unendlich viele Produkte in deiner Betrachtung. Daher multipliziert man unendliche Reihen "diagonal" nach Cauchy. Auf den Diagonalen ist die Summe der Indizes immer gleich:⋅b0b1b2b3b4⋮a0a0b0a0b1a0b2a0b3a0b4⋮a1a1b0a1b1a1b2a1b3a1b4⋮a2a2b0a2b1a2b2a2b3a2b4⋮a3a3b0a3b1a3b2a3b3a3b4⋮a4a4b0a4b1a4b2a4b3a4b4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋱
Wenn du Cauchy's Idee formal aufschreibst, sieht das etwa so aus:ex⋅ey=k=0∑∞k!xk⋅ℓ=0∑∞ℓ!yℓ=n=0∑∞k+ℓ=n∑k!xk⋅ℓ!yℓ
Der Index n wird neu eingeführt und beschreibt die Diagonale, indem er die Summe der beiden Indizes festlegt. Da n von 0 bis ∞ läuft, werden alle Diagonalen durchlaufen. Die Summation entlang einer Diagonale erfolgt nun über alle Indizes k und ℓ, deren Summe n entspricht. Anstatt k+ℓ=n zu fordern, können wir auch k von 0 bis n laufen lassen, dann ist ℓ=n−k automatisch festgelegt:ex⋅ey=n=0∑∞k=0∑nk!xk⋅(=ℓn−k)!yn−k=ℓJetzt erweitern wir noch mit n! und verwenden den binomischen Lehrsatz:ex⋅ey=n=0∑∞n!1k=0∑nk!⋅(n−k)!n!xkyn−k=n=0∑∞n!1k=0∑n(kn)xkyn−kex⋅ey=n=0∑∞n!1(x+y)n=ex+y
Das Produkt der unendlichen konvergenten Reihen ex und ey ist also gleich der unendlichen konvergenten Reihe von ex+y.