Wurzelkriterium richtig angewendet?

Question

Könnte jemand bitte über meiner a drüber schauen, ob ich das Wurzelkriterium richtig angewendet habe:

Text erkannt:

Bonusaufgabe (5 Punkte). Untersuche die Reihen auf Konvergenz:
(a) \( \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^{k}(2 k+1)^{3} \cdot 5^{k-2}}{k \cdot 6^{k+1}} \)
(b) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{\sqrt{k}}{1+k} \)
(c) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^{4} \cdot k!}{(-5)^{k}(\sqrt{2})^{2 k+1}} \)
(d) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^{3}}{k^{3}+k^{2}} \)
(e) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} \frac{2^{k+1} \cdot k^{2}}{(k+1)^{k}} \)
(f) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1+\frac{(-1)^{k}}{k}}{k \sqrt{k}} \)

Text erkannt:

a) \( \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^{k}(2 k+1)^{3} \cdot 5^{k-2}}{k \cdot 6^{-k-1}} \rightarrow \) Wurzelkriterium \( \sqrt[k]{a_{k}} \)
\( \begin{array}{l} \sqrt[k]{\frac{(-1)^{k}(2 k+1)^{2} \cdot 5^{k+2}}{k \cdot 6^{k+1}}}=\left(\frac{(-1)^{k}(2 k+1)^{2} \cdot 5^{k-2}}{k \cdot 6^{k+1}}\right)^{\frac{1}{k}}=\frac{-1(2 k+1)^{\frac{2}{k}} \cdot 5^{k-2}}{k \cdot 6^{\frac{4}{k}}}=\frac{-1(2 k+1)^{\frac{3}{k}} \cdot 5^{\frac{k}{k}-\frac{2}{k}}}{k \cdot 6 \cdot \frac{k+2}{k}}=\frac{-1(2 k+1)^{\frac{3}{k}} \cdot 5^{-\frac{3}{k}}}{k \cdot 6+\frac{1}{k}} \\ =\frac{(-2 k-1)^{\frac{3}{k}} \cdot 5^{-\frac{2}{k}}}{\frac{6 k^{k}+\frac{1}{k}}{k}}=\frac{(-2 k-1)^{\frac{1}{k} \cdot 5^{-\frac{2}{k}}}}{\frac{6 k^{2}+1}{k}}=\frac{(-2 k-1)^{2} \cdot 5^{-\frac{2}{k}}}{6 k+1} \end{array} \)

Comments

Quotientenkriterium mag Dir vielleicht einen Tick leichter fallen, da kommen weniger Potenz-Umformungen vor :-)

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Leibniz-Kriterium!

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Sie soll Monotonie zeigen?

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Sie soll Konvergenz untersuchen.

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Text erkannt:

Bonusaufgabe
a) \( \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^{k}(2 k+1)^{3} \cdot 5^{k-2}}{k \cdot 6^{-k-2}} \rightarrow \) Wurelariterium \( \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|} \)
Regeln:
\( \sqrt[n]{n} \xrightarrow{n}=1 \)
\( \sqrt[n]{a} \xrightarrow{n \rightarrow 1} \)
\( \frac{1}{3^{n}} \leadsto 0 \)
\( \left(\frac{\pi}{2}\right)^{n}=-\infty \)
\( \begin{array}{l} \sqrt[k]{\left|\frac{(-\lambda)^{k}(2 x+1)^{2} \cdot 5^{k-2}}{k \cdot 6^{k-1}}\right|}=\sqrt[k]{\left|(-1)^{2}\right|} \cdot \sqrt[k]{\left|\frac{(2 x+1)^{2}}{k}\right|} \cdot \sqrt[k]{\left|\frac{5^{k+2}}{6^{k+1}}\right|} \\ =\sqrt[k]{(1)^{2}} \cdot \sqrt[k]{\frac{8 x^{2}}{k}} \cdot \sqrt[k]{\frac{5^{2}}{6^{5} 6^{1} \cdot 5^{2}}} \\ \text { NR: }(2 k+1)^{3} \\ =k^{2}\left(2+\underset{\rightarrow 0}{\frac{\lambda}{k}}\right)^{3} \\ =k^{2}(2+\overrightarrow{0})^{2} \\ =k^{\circ}(2)^{2} \\ =\sqrt[k]{(1)^{k}} \cdot \sqrt[k]{8 k^{2}} \cdot \sqrt[k]{\left(\frac{5}{6}\right)^{k}} \cdot \sqrt[k]{\frac{1}{6 \cdot 25}} \\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[k]{(1)^{k}} \cdot \sqrt[k]{8 k^{2}} \cdot \sqrt[k]{\left(\frac{5}{6}\right)^{k}} \cdot \sqrt[k]{\frac{1}{30}} \quad=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} 1 \cdot 1 \cdot \frac{5}{6} \cdot 1=\frac{5}{6}<1 \text {, also ist convegent } \end{array} \)

ist das so jetzt korrekt ?

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schon viel besser, nur Dein Umgang mit (2k+1)³ / k ist noch nicht sauber . Hier bildest Du ja schon einen Grenzwert für einen Teil des Gesamtterms ohne das richtig auszuführen. Besser den Term mitschleppen und wie den Rest behandeln. Diese Ausdrücke gehen ja genauso gegen 1 wie die anderen, ein ausmultiplizieren oder Kürzen ist nicht nötig.

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Alles klar, korrigiere ich jetzt

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Und für \( \sqrt[k]{1^{k}} \) schreibt man natürlich sofort 1 und ebenso für die kte Wurzel aus (5/6)^k natürlich sofort 5/6

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Bei der anderen Aufgabe stört die 1 im Nenner, sonst könntest Du kürzen und Deine bekannte Reihe benutzen.

Wie wirst Du also die 1 los? Weglassen geht nicht, Du willst ja nach unten abschätzen, sprich eine kleinere Vergleichsreihe (Minorante) haben, die immer noch divergiert. Also ersetze 1 durch etwas größeres, dass Du mit k im Nenner zusammenfassen kannst, z.B. durch ?

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durch k? hab keine ahnung :(

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Genau! Dann steht im Nenner 2k, Du kannst kürzen (denn k = √k * √k wie Du natürlich weißt) und bist fertig

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ah ja jetzt verstehe ich was du meinst

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so?

Text erkannt:

b.) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{\sqrt{k}}{1+k} \quad \) NR: die \( l \) im lemer wird durch \( k \) essetzt
\( \frac{\sqrt{k}}{k+k}=\frac{\sqrt{k} \cdot \sqrt{k}}{2 k \cdot \sqrt{k}}=\frac{1 k}{2 k \cdot \sqrt{k}}=\frac{1}{k \sqrt{k}} \)
bekannte Reihe:
\( \begin{array}{ll} \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{p}} & \begin{array}{l} \text { Konvergiet nur, wenn } p>1 \\ \text { wenn } p \leq 1 \text {, dann divergiert } \end{array} \\ \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k-\sqrt{k}}=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \quad \text { mit } p=\frac{1}{2}<1 \text {, also divergiet diese Reihe } \end{array} \)

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und ist meine e richtig?

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\text { e.) } \sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} \frac{2^{k+1} \cdot k^{2}}{(k+1)^{k}} \rightarrow \text { Wurelkriterium } \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|} \\ \sqrt[k]{\left|(-1) \frac{2^{k+1} \cdot k^{2}}{(k+1)^{k}}\right|}=\sqrt[k]{1 \cdot \frac{2^{k+1} \cdot k^{2}}{(k+1)^{k}}}=\sqrt[k]{\frac{2^{k+1} \cdot k^{2}}{(k+1)^{k}}}=\sqrt[k]{2^{k} \cdot 2^{1}} \cdot \sqrt[k]{k^{2}} \cdot \sqrt[k]{\frac{1}{(k+1)^{k}}}= \\ 2 \cdot \sqrt[k]{2} \cdot \sqrt[k]{k^{2}} \cdot \frac{1}{(k+1)} \\ \lim \limits_{k \rightarrow \infty} 2 \cdot \sqrt[k]{2} \cdot \sqrt[k]{k^{2}} \cdot \frac{1}{(k+1)}=\lim \limits_{k \rightarrow \infty} 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 0=0<1 \text {, also convergent }\end{array} \)

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und ist meine d richtig?

Text erkannt:

d.) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^{3}}{k^{2}+k^{2}}=\frac{k^{2}}{k^{2}\left(1+\frac{k^{2}}{k^{2}}\right)}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{k}\right)} \)
\( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{k}\right)}=\lim \limits_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{1}=1 \neq 0 \), also divergent

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b) ist falsch, warum erweiterst Du mit \( \sqrt{k} \)? Danach kürzt Du falsch.

\( \frac{\sqrt{k}}{k} \) = \( \frac{1}{\sqrt{k}} \)

e) sieht gut aus.

d) sieht gut aus, aber schreib dazu welches Kriterium Du benutzt hast.

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Ich habe bei b erweitert, damit ich kürzen kann:( und wie heißt denn das Prinzip

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Du solltest die Potenzregeln üben! Dafür gibt es genügend Beispiele und Videos…

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Hab das jetzt so, jetzt müsste es doch richtig sein

Text erkannt:

b.) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{\sqrt{k}}{\lambda+k} \quad \) NR: die \( l \) im lemer wird durch \( k \) enetet.
\( \frac{\sqrt{k}}{k+k}=\frac{\sqrt{k} \cdot \sqrt{k}}{2 k \cdot \sqrt{k}}=\frac{1 k}{2 k \cdot \sqrt{k}}=\frac{1}{2 \sqrt{k}} \)
\( p \)-Reihe:
\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{p}} \quad \begin{array}{l}\text { - Konvergiet nur, wenn } p>1 \\ \text { wenn } p \leq 1 \text {, damn divergient }\end{array} \)
\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2-\sqrt{k}}=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2 \cdot k^{\frac{1}{2}}} \quad \) mit \( p=\frac{1}{2}<1 \), also divergiet diese Reihe

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Ja, aber das Erweitern ist überflüssig. Du kannst sofort kürzen.

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aber ich darf doch nicht k mit wurzel k kürzen

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Potenzregel!!!

k^1/2 * k^-1 = k^-1/2

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oh ja stimmt, und bei f komme ich nicht weiter :( hab nicht mehr lange zeit, muss das gleich abgeben

Text erkannt:

f.) \( \begin{array}{ll}\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1+\frac{(-1)^{k}}{k}}{k \sqrt{k}}=\frac{1}{k \sqrt{k}}+\frac{\frac{(-1)^{k}}{k}}{k \sqrt{k}}=\frac{1}{k \sqrt{k}}+\frac{(-1)^{k}}{k^{2} \sqrt{k}} & \rightarrow \text { Leibniz-Kriterium } \\ \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{1}{k \sqrt{k}}+\frac{(-1)^{k}}{k^{2} \sqrt{k}}\right|=\lim \limits_{k \rightarrow \infty} 0+0=0 & \text { - Grenzen gegen } 0 \text { laufen } \\ \left|a_{k+1}\right| \leq\left|a_{k}\right| & \text { - Mon. fallend } a_{k+1} \leq a_{k}\end{array} \)

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Zerlege die Reihen in zwei. Beide konvergieren absolut, also auch die Summe. Enfacher als Leibnitz…

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meinst du das so:

Text erkannt:

f.) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1+\frac{(-1)^{k}}{k}}{k-\sqrt{k}} \)
\( \begin{array}{l} \frac{1+\frac{(-1)^{k}}{k}}{k-\sqrt{k}}=\frac{1}{k-\sqrt{k}}+\frac{\frac{(-1)^{k}}{k}}{k-\sqrt{k}}=\frac{1}{k \sqrt{k}}+\frac{(-1)^{k}}{k^{2} \sqrt{k}} \\ \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{k-\sqrt{k}}+\frac{(-1)^{k}}{k^{2} \sqrt{k}}=\lim \limits_{k \rightarrow \infty} 0+0=0 \end{array} \)
6 von 6

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Nein, erst die unendliche Reihe in zwei unendliche Reihen zerlegen und dann jede Reihe für sich untersuchen, was einfach ist. Deine Zerlegung und Rechnung paßt im Prinzip, aber erst in zwei Summen zerlegen, dann untersuchen

Answer 1

Da geht einiges durcheinander.

1. Beachte, beim Wurzelkriterium geht es um \(\sqrt[k]{|a_k|}\).

2. Damit die Umformungen lesbar (auch für Dich!) bleiben, schreibe den Bruchstrich auf Höhe des =-Zeichens und Exponenten deutlich hochgestellt.

Weiteres: ziehe mit Potenzrechenregeln \(5^{k-2}\) vor dem Wurzelziehen auseinander.

Zweites =-Zeichen: Fehler im Nenner (zusätzlich zu 1. s.o.).

Drittes =-Zeichen: Fehler im Nenner (s.o.: 2.)

Viertes =-Zeichen: Fehler bei Potenzrechenregeln (im Zähler und Nenner)

Weiterprüfen nicht sinnvoll, da kommen weitere Pannen mit Klammer- und Potenzrechenregeln.

Wiederhole intensiv die Grundlagen.

Comments

Vielen lieben Dank, wiederhole jetzt die Sufgabe mit deinen Tipps

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Schon viel besser.

Aber wenn Du z.B. \(\sqrt[k]{1^k}\) und \(\sqrt[k]{(\frac56)^k}\) schreibst und davon Grenzwerte berechnest, zeigt das, dass Dir weiterhin das Gespür und die Grundlagen fehlen.

Die Aufteilung in drei Faktoren ist gut. Und die Weiterbehandlung des ersten und dritten ist - mit der obigen Einschränkung - ok.

Was Du im zweiten Faktor machst, ist nicht lesbar, aber auf jeden Fall falsch.

Ich nerve vermutlich, aber trotzdem: Wiederhole die Grundlagen. JETZT.

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was meinst du genau im zweiten Faktor

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und könntest du über b schauen:

Text erkannt:

b.) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{\sqrt{k}}{1+k} \)

NR:
\( \frac{\sqrt{k}}{1+k} \approx \frac{\sqrt{k} \cdot \sqrt{k}}{k \cdot \sqrt{k}}=\frac{k-1}{k \sqrt{k}}=\frac{1}{\sqrt{k}} \)
bekannte Reihe:
\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{p}} \quad \begin{array}{l} \text { - konvergiet nur, wenn } p>1 \\ \text { - wenn } p \leq 1 \text {, dann divergient } \end{array} \)
\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}}=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{\frac{1}{2}}} \quad \) mit \( p=\frac{1}{2}<1 \), also divergiest diese Reihe

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was meinst du genau im zweiten Faktor

Du hast in drei Faktoren aufgeteilt...

b) Das geht so nicht. Was soll das \(\approx\)? Es geht hier um präzise Rechnung/Beweise/Abschätzungen.

Answer 2

Guten Tag lieber Fragesteller,

ich werde höchstwahrscheinlich für meine Art kritisiert, da hier viele (sogar Mathematiker) gegen Mathematik sind. Die kann man nicht retten. Jedoch möchte ich DIR die Chance geben wissenschaftlich dich zu bilden. Ich werde dir in meiner Antwort deshalb eine wissenschaftliche Vorgehensweise empfehlen.

Vorab musst du wissen, was die Konvergenz einer Reihe bedeutet! Konvergente Reihen bezeichnet man als Limiten von Partialsummenfolgen.

Eine Summenfolge f(1) + … + f(n) konvergiert gegen f(1) + f(2) + …., falls gilt:

Für alle n > m ist

{[ f(1) + … + f(n) ] - [ f(1) + … + f(m)] : m} eine Nullfolge, d.h. es gilt

| [ f(1) + … + f(n) ] - [ f(1) + … + f(m)] | —> 0 

für m gegen unendlich. Das ist der Fall, falls

| f(m+1) | + | f(m+2) | + … + | f(n) | —> 0 für m gegen unendlich, denn diese ist eine obere Abschätzung davon.

Denn dann ist (f(1) + … + f(n)) eine reelle Cauchyfolge und da die reellen Zahlen bezüglich der Betragsfunktion ein Banachraum bilden, ist diese Folge auch konvergent.

Diese Methode heisst Cauchy-Test.

Daher würde ich dir raten, die Konvergenz von ,,Reihen‘‘ (eigentlich auch ein unprofessioneller Begriff!!) mithilfe dieser Bedingung zu prüfen und von Kindergarten-Nichtmathematiker-Resultate wie Leibniztest, Wurzeltest und co Abstand zu nehmen!!! :-)