Es sei (Ω, P) ein (diskreter) Wahrscheinlichkeitsraum.

Question

Aufgabe:

Es sei (Ω, P) ein (diskreter) Wahrscheinlichkeitsraum. Man zeige:

(a) Für zwei Ereignisse A, B ⊆ Ω gilt:
P(A ∪ B) · P(A ∩ B) ≤ P(A) · P(B)

Problem/Ansatz:

Ich habe folgende zwei Regeln genutzt, die wir in der VL hatten: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) und da ( A ∩ B)  ⊆ B  =⇒ P(A ∩ B) ≤ P(B).

P(A ∪ B) · P(A ∩ B) = ( P(A) + P(B) - P(A ∩ B) ) *  P(A ∩ B)  ≤ ( P(A) + P(B) - P( B) ) *  P(A ∩ B) = P(A)  *  P(A ∩ B) ≤ P(A) * P(B)

Passt das oder ist irgendwo ein Fehler? Ich komme nie auf die richtigen Umformunge...

Comments

Die erste Ungleichung stimmt wohl nicht, du ziehst ja mehr ab, also wird es kleiner, nicht größer

Answer 1

Dein erstes \(\leq\) ist falsch. Es ist \(P(A) + P(B) - P(A ∩ B)  \geq  P(A) + P(B) - P(B)\)

Versuch es mal so:

$$P(A)\cdot P(B) = (P(A\cap B)+P(A\setminus B))(P(B\cap A) + P(B\setminus A))$$

Nun nutzt du \(P(A\setminus B) + P(B\setminus A) = P(A \cup B) - P(A\cap B) \).

Damit müsstest du es hinbekommen, oder?

Answer 2

Meine Idee

P(A∪B)·P(A∩B) ≤ P(A)·P(B)
(P(A) + P(B) - P(A∩B))·P(A∩B) ≤ P(A)·P(B)

Wir setzen a = P(A) ; b = P(B) ; c = P(A∩B)

(a + b - c)·c ≤ a·b
a·c + b·c - c·c ≤ a·b
a·c + b·c - c·c - a·b ≤ 0
(a - c)·(c - b) ≤ 0

Wir resubstituieren

(P(A) - P(A∩B))·(P(A∩B) - P(B)) ≤ 0

Nun gilt aber

P(A) - P(A∩B) ≥ 0 ; P(A∩B) - P(B) ≤ 0

und damit ist die Ungleichung wahr.