Allgemeine Berechnung von Taylorpolynome

Question

ich muss die Taylopolynome berechnen, es geht nicht darum, ob es richtig ist, sondern ich habe eine allgemeine Frage:

muss ich die Klammer in der letzten Zeile auflösen, oder kann ich es so lassen:

Text erkannt:

Taylorpolynome: \( T_{n}(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}\left(x_{0}\right)}{k!}\left(x-x_{0}\right)^{k} \)
\( \begin{aligned} T_{3}(x)=\sum \limits_{k=0}^{3} \frac{f^{(k)}\left(\frac{\pi}{2}\right)}{k!}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{k} & =\frac{f \cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)}{0!}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{0}+\frac{f^{\prime} \cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)}{1!}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{1}+\frac{f^{n} \cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)}{2!}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{2}+\frac{f^{(2)} \cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)}{3!}\left(x-\frac{3}{2}\right) \\ & =\frac{-\frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{2}}{1} \cdot 1+\frac{-1 \cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)}{1}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+\frac{\frac{9 \pi}{2} \cdot \frac{\pi}{2}}{2}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{2}+\frac{27 \cdot \frac{\pi}{2}}{6}\left(x-\frac{\pi}{2}\right. \\ & =-\frac{\pi^{2}}{4}-\frac{\pi}{2} \cdot\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+\frac{9 \pi^{2}}{4} \cdot\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{2}+\frac{9 \pi}{4} \cdot\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{3} \end{aligned} \)

Answer 1

muss ich die Klammer in der letzten Zeile auflösen, oder kann ich es so lassen:

Das darf man zum Glück so lassen. Das ist ja nur noch (unnütze) Termumformung.

Achte darauf das zwischen f, f', f'', etc. und dem (x0) kein Malpunkt mehr geschrieben wird.

Damit dürfte dein Taylorpolynom also falsch sein.

Comments

Puh das ist gut, danke

Answer 2

Du hast zwar nicht nach Richtigkeit gefragt, aber da ist einiges falsch.

Du verstehst anscheinend die Schreibweise \(f^{(k)}(x_0)\) nicht, weil Du einen Malpunkt schreibst und - es sieht sehr danach aus - auch "mal" rechnest. Das bedeutet aber, dass Dir gar nicht klar ist, was das Taylorpolynom ist und wie man es berechnet.

Außerdem noch ein Bruchrechenfehler.

Das kann man schonmal sagen, ohne dass man \(f\) kennt, das hast Du ja nicht angegeben. Je nachdem wie \(f\) aussieht, kommen u.U. noch weitere Fehler dazu.

Ob man die Klammern auflöst oder nicht, ist Nebensache und das kleinste Problem in Deiner Rechnung.

Comments

oh nein :(( ich wusste das nicht, vielen Dank :(

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könntest du kurz über meine Ableitungen schauen, ob diese wenigstens korrekt sind, bevor ich weiter korrigiere:

Text erkannt:

Bonusaufgabe (5 Punkte).
(a) Berechnen Sie die Taylorpolynome \( T_{3} \) und \( T_{5} \) der Funktion im Entwicklungspunkt \( x_{0} \) :
\( f(x)=x \cdot \sin (3 x), \quad x_{0}=\frac{\pi}{2} \)

Text erkannt:

Bonusaufgabe
a.) \( f(x)=x \cdot \sin (3 x), x_{0}=\frac{\pi}{2}, n=3 \) and \( n=5 \)
\( \begin{array}{l} f(x)=x \cdot \sin (3 x) \quad \Rightarrow \quad f\left(x_{0}\right)=\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot \sin \left(3 \cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) \\ \\ \\ =\frac{\pi}{2} \sin \left(\frac{3 \pi}{2}\right) \\ =\frac{\pi}{2} \cdot(-1) \\ v=x \quad v^{\prime}=1 \\ v=\sin (3 x) v^{\prime}=3 \cdot \cos (3 x) \quad \end{array} \)
\( \sin \left(\frac{3 \pi}{2}\right)=-1 \)
\( \cos \left(\frac{3 \pi}{2}\right)=0 \)
\( \begin{array}{rlrl} f^{\prime}(x) & =1 \cdot(\sin (3 x))+x \cdot(3 \cdot \cos (3 x)) & \Rightarrow f^{\prime}\left(x_{0}\right) & =\sin \left(3 \cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)+3 \cdot\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot \cos \left(3 \cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) \\ & =\sin (3 x)+3 x \cos (3 x) & & =\sin \left(\frac{3 \pi}{2}\right)+\frac{3 \pi}{2} \cdot \cos \left(\frac{3 \pi}{2}\right) \\ & & =-1+\frac{3 \pi}{2} \cdot 0 \\ & & =3 x \quad u^{\prime}=3 \\ & v=\cos (3 x) v^{\prime}=-3 \sin (3 x) & & =-1 \end{array} \)
\( \begin{aligned} f^{\prime \prime}(x) & =3 \cdot \cos (3 x)+(3 x) \cdot(-3 \sin (3 x))+3 \cdot(\cos (3 x)) \\ & =3 \cos (3 x)-9 x \sin (3 x)+3 \cos (3 x) \\ & =6 \cos (3 x)-9 x \sin (3 x) \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right) & =6 \cdot \cos \left(3 \cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)-9 \cdot\left(\frac{\pi}{2}\right) \sin \left(3 \frac{\pi}{2}\right) \\ & =6 \cdot \cos \left(\frac{3 \pi}{2}\right)-\frac{9 \pi}{2} \cdot \sin \left(\frac{3 \pi}{2}\right) \\ & =6 \cdot 0-\frac{9 \pi}{2} \cdot(-1) \\ & =\frac{9 \pi}{2} \end{aligned} \)
1.
\( \begin{array}{ll} u=6 & u^{\prime}=0 \\ v=\cos (3 x) & v^{\prime}=-3 \sin (3 x) \end{array} \)
2.
\( \begin{array}{ll} u=-9 x & u^{\prime}=-9 \\ v=\sin (3 x) & v^{\prime}=3 \cos (3 x) \end{array} \)
\( \begin{aligned} f^{(2)}(x) & =6 \cdot(-3 \sin (3 x))-9 \cdot \sin (3 x)-9 x \cdot(3 \cos (3 x)) \\ & =-18 \sin (3 x)-9 \sin (3 x)-27 x \cos (3 x) \\ & =-27 \sin (3 x)-27 x \cos (3 x) \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} f^{(2)}\left(x_{0}\right)= & -27 \sin \left(3 \cdot \frac{\pi}{2}\right)-27 \cdot\left(\frac{\pi}{2}\right) \\ & \cos \left(3 \frac{\pi}{2}\right) \\ = & -27 \sin \left(\frac{3 \pi}{2}\right)-\frac{27 \pi}{2} \cos \left(\frac{3 \pi}{2}\right) \\ = & -27 \cdot(-1)-\frac{27 \pi}{2} \cdot 0 \\ = & 27 \end{aligned} \)

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Wir haben Dir schon mehrmals den Ableitungsrechner im Internet ans Herz gelegt. Bitte benutze den - was hindert Dich daran?

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meine Ableitungen müssten richtig sein, aber ist das Taylorpolynom jetzt korrekt? :(

Text erkannt:

Taylorpolynome: \( T_{n}(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}\left(x_{0}\right)}{k!}\left(x-x_{0}\right)^{k} \)
\( \begin{aligned} T_{3}(x)=\sum \limits_{k=0}^{3} \frac{f^{(k)}\left(\frac{\pi}{2}\right)}{k!}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{k} & =\frac{f\left(\frac{\pi}{2}\right)}{0!}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{0}+\frac{f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)}{1!}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{1}+\frac{f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)}{2!}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{2}+\frac{f^{(2)}\left(\frac{\pi}{2}\right)}{3!}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{3} \\ & =\frac{-\frac{\pi}{2}}{1} \cdot 1-\frac{1}{1} \cdot\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+\frac{\frac{9 \pi}{2}}{2}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{2}+\frac{27}{6: 3}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{3} \\ & =-\frac{\pi}{2}-\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+\frac{9 \pi}{4}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{2}+\frac{9}{2}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{3} \end{aligned} \)
\( \begin{array}{l} T_{5}(x)=T_{3}(x)+\frac{f^{(n)}\left(\frac{\pi}{2}\right)}{4!}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{4}+\frac{f^{(3)}\left(\frac{\pi}{2}\right)}{5!}=T_{3}(x)-\frac{\frac{81 \pi}{2}}{24}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{4}-\frac{405^{5}}{120: 5}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{5} \\ =-\frac{\pi}{2}-\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+\frac{9 \pi}{4}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{2}+\frac{9}{2}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{3}-\frac{81 \pi}{48}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{4}-\frac{81}{24}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{5} \end{array} \)

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Vergleiche selber:

Taylorpolynom 3. Grades:
\( T_{3}(x)=-\frac{\pi}{2}-\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+\frac{9 \pi}{4}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{2}+\frac{9}{2}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{3} \)

Taylorpolynom 5. Grades:
\( T_{5}(x)=T_{3}(x)-\frac{27 \pi}{16}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{4}-\frac{81}{40}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{5} \)

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Wenn die Ableitungen stimmen, dann ist auch das Taylorpolynom richtig. Die Brüche bei den beiden letzten Summanden kann man noch kürzen.

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Vielen lieben Dank