Berechnung der Taylorreihe

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bin mir nicht so sicher, ob die Aufgabe richtig ist, könnte jemand drüber schauen?

Text erkannt:

Bonusaufgabe (5 Punkte). (a) Berechnen Sie die Taylorreihe von \( f \) im angegebenen Entwicklungspunkt \( x_{0} \). Sie können schon bekannte Reihenentwicklungen benutzen.
\( f(x)=\cos \left(\frac{\pi}{3} x\right), \quad x_{0}=-\frac{3}{2} \)

Text erkannt:

a.) \( f(x)=\cos \left(\frac{\pi}{3} x\right), \quad x_{0}=-\frac{3}{2} \)
\( \begin{array}{l} x=x_{0}+\left(x-x_{0}\right) \\ =-\frac{3}{2}+\left(x-\frac{3}{2}\right) \\ f(x)=\cos \left(\frac{\pi}{3} x\right)=\cos \left(\frac{\pi}{3} \cdot\left(-\frac{3}{2}+\left(x-\frac{3}{2}\right)\right)\right. \\ =\cos \left(-\frac{3 \pi}{63}+\frac{\pi}{2} \cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)\right) \\ =\cos \left(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2} \cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)\right) \end{array} \)

Venthiebungformel nach Cosinus:
\( \begin{array}{l} \quad \cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta-\sin \alpha \cdot \sin \beta \\ \quad \alpha=-\frac{\pi}{2}, b=\frac{\pi}{3}\left(x+\frac{3}{2}\right): \\ \Rightarrow \cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)=0 \\ \Rightarrow \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1 \\ \begin{aligned} f(x)=\cos \left(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3} \cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)\right) & =-(-1) \sin \left(\frac{\pi}{3}\left(x+\frac{3}{2}\right)\right) \\ & =\sin \left(\frac{\pi}{3}\left(x+\frac{3}{2}\right)\right) \end{aligned} \end{array} \)
besconnte Sinusreihe:
\( \begin{array}{l} \sin (x)=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{(2 k+1)^{2}} x^{2 k+1} \\ \Rightarrow \sin (x)=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{(2 k+1)!}\left(\frac{\pi}{3}\left(x+\frac{3}{2}\right)\right)^{2 k+1} \end{array} \)

Gefragt vor 18 Stunden von melisad8

Berechnung der Taylorreihe

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