Bestimme die Schnittgerade g von 2 othogonalen Ebenen

Question

Aufgabe:

Folgende Beispielaufgabe aus dem Mathebuch: Gegeben ist die Ebene E: 2x-y-z=-1. Gesucht ist eine Ebene F, die den Punkt A (3| 1| 2 enthält und othogonal zur Ebene E ist. Bestimme die Schnittgerade g.

Problem/Ansatz:

Als Lösung wird die Ebene F: y - z = -1 und die Schnittgerade g:

$$\vec{x}= \begin{pmatrix} -1\\-1\\0 \end{pmatrix}+ r \begin{pmatrix} 2\\2\\2 \end{pmatrix}$$ angegeben.

Ich habe als Lösung jedoch: F: x+y+z=6 und g: $$\vec{x}= \begin{pmatrix} \frac{5}{3}\\\frac{13}{3}\\0\end{pmatrix} +r\begin{pmatrix}0\\-1\\1 \end{pmatrix}$$

Frage: Gibt es unendlich viele Lösungen, da es unendlich viele Normalenvektoren von F gibt, die orthogonal auf den Normalenvektor von E stehen?

Answer 1

Gibt es unendlich viele Lösungen, da es unendlich viele Normalenvektoren von F gibt, die orthogonal auf den Normalenvektor von E stehen?

Richtig. Es gibt hier unendlich viele verschiedene Ebenen F die A enthalten und orthogonal zu E sind.

Deine Ebene F ist eine davon und auch deine Schnittgerade stimmt.

Comments

Ich habe da ein Verständnisproblem:

Wie kann es unendlich viele verschiedene Ebenen geben, die orthogonal zu einer anderen Ebene sind und durch einen bestimmten Punkt gehen?

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Das ist kein Verständnisproblem, sondern ein Vorstellungsproblem. Drehe eine dieser Ebenen einfach entlang des Normalenvektors von \(E\) durch \(A\) und schon erhältst du eine andere Ebene.

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Stimmt, danke!

Answer 2

Die Fragestellung weist bereits darauf hin:

Gesucht ist eine Ebene F ...

Answer 3

Frage: Gibt es unendlich viele Lösungen, da es unendlich viele Normalenvektoren von F gibt, die orthogonal auf den Normalenvektor von E stehen?

Nein, das ist so nicht richtig. Vielmehr ist es so: Wird eine Ebene F1, die die beiden genannten Bedingungen erfüllt, um die Lotgerade von A auf E gedreht, entsteht eine neue Ebene F2, die ebenfalls die beiden Bedingungen erfüllt. Es gibt also unendlich viele Lösungsebenen Fx.

Jedes Paar (E,Fx) besitzt eine gemeinsame Schnittgerade, die für dieses Paar individuell ist. Das sind also auch unendlich viele.

Diese Schnittgeraden sind genau die Geraden, die auf der Ebene E liegen und durch den Lotfußpunkt von A auf E laufen.

Aus diesem Grunde ist die Angabe einer Muster- oder Kontrolllösung für diese Aufgabe nicht sehr nützlich.

Comments

Nein, das ist so nicht richtig.

Warum sollte das vom FS Geschriebene nicht richtig sein? Es gibt sehr wohl unendlich viele solcher Ebenen \(F\), weil es unendliche viele orthogonale Vektoren zum Normalenvektor von \(E\) gibt. Zusätzlich mit dem vorgegebenen Punkt erhält man also auch unendlich viele solcher Ebenen, da eine Ebene eindeutig durch die Angabe eines Punktes der Ebene und eines Normalenvektors bestimmt ist.

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@Apfelmännchen:

Das vom FS Geschriebene greift zu kurz.

Die Ebene der Musterlösung hat einen Normalenvektor \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \), aber auch einen Normalenvektor \( \begin{pmatrix} 5\\5\\5 \end{pmatrix} \) und jeden beliebigen Normalenvektor \( \begin{pmatrix} k\\k\\k \end{pmatrix} \) mit von 0 verschiedenem k. Das sind zwar auch unendlich viele Normalenvektoren, deshalb aber noch nicht unendlich viele Ebenen.

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Ich denke aber, dass die Begründung nicht so gemeint war. Aber ja, man hätte zusätzlich klarstellen sollen, dass unendlich viele Normalenvektoren unterschiedlicher Richtung gemeint sind. Das macht die Begründung aber nicht gleich falsch.