Wie ist das zu lösen?

Question

Aufgabe:

∩{{m∈ℕ | m≥n} | n∈ℕ}=∅

Problem/Ansatz

Wie ist das zu lösen?

Comments

∩{{m∈ℕ | m≥n} | n∈ℕ}=∅ ist eine Aussage. Aussagen kann man bestätigen (begründen oder beweisen) oder widerlegen. Das Wort 'lösen' gibt hier keinen Sinn.

Es geht um eine Menge von Mengen, die angeblich insgesamt eine leere Schnittmenge haben. Schreibe diese Menge von Mengen (mit Verwendung von Pünktchen) auf. Nimm dann an, es gäbe ein natürliches Element e in in der Schnittmenge. (Widerspruchbeweis)

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Ich verstehe die Aussage einfach nicht, d.h., ich brauche eine "Übersetzung" in sprachliche Syntax, um ihre Richtigkeit zu beurteilen.

Was ich verstanden habe:

- es gibt einen großen Durchschnitt einer Menge M, der die leere Menge ist

- M hat m (Teil)mengen

- n ist die Anzahl aller Elemente, die in jeder Teilmenge von M enthalten ist

- die Anzahl m der in M enthalten Teilmengen ist gleich oder größer als die Anzahl n der allen Mengen gemeinsamen Elemente

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Ich habe es zwar nicht fertig bewiesen und muss gleich weg, aber es wird sehr sicher über einen Widerspruchsbeweis nachweisbar sein.

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Es ist jetzt zweimal nach der Aufgabenstellung gefragt worden, bis jetzt erfolglos.

Liefere die mal, wörtlich, am besten als Foto. Von Teilmengen ist in diesem Ausdruck nicht die Rede, auch nicht von deren Anzahl und Mächtigkeit.

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Text erkannt:

Übung
Es gilt \( \bigcap\{\{m \in \mathbb{N} \mid m \geq n\} \mid n \in \mathbb{N}\}=\varnothing \).

hier die Aufgabe. aus Deiser: „Einführung in die Mengenlehre“

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Merkwürdige Übung, wo gar nicht steht was man tun soll.

Vermutlich sollst Du Dir das überlegen. Antwort s.u.

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Gemeint ist wohl beispielsweise etwas in der Art für n = 1, 2, 3:

\( \left\{\begin{array}{l} \{1,2,3,4, \ldots\}, \\ \{2,3,4, \ldots\}, \\ \{3,4,5, \ldots\}, \\ \ldots \end{array}\right\} \)

Jede Zeile ist eine Teilmenge, und die äußere Klammer faßt sie alle zusammen und darüber ist der Durchschnitt zu bilden, der dann leer sein soll. Für gegebenes m₀ muß man nur n = m₀ + 1 wählen und kann einen Widerspruch konstruieren.

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Dank an alle, die letzte Antwort hat mir die Augen geöffnet.

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Und trotzdem weigerst Du Dich standhaft, zu schreiben was die Aufgabe sein soll, also was mit der Aussage zu tun ist? Und verschweigst auch Auflage und Seite, damit niemand auf die Idee kommt, selber nachzuschauen? Schwierig.

Aus dem Kontext der Aussage (3. Auflage, S. 41) folgere ich, dass man sie beweisen soll.

(Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, Heidelberg 2010, S. 41.)

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Ich hab das nicht mit böser Absicht verschwiegen. Ich musste ähnlich wie du raten, dass es um einen Beweis ging.

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Boshaftigkeit wurde nie unterstellt. Mit dem was obendran steht, ist es den fragenden Hilfswilligen wohl klarer geworden.

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Muss an meinem Präzisionsniveau arbeiten.

Answer 1

wie ist das zu lösen?

WAS ist zu "lösen"?

Soll die Aussage bewiesen werden?

Soll die Aussage widerlegt werden?

Nach meiner Auffassung gilt ∩{{m∈ℕ | m≥n} | n∈ℕ}={n}.

Comments

Nein, es gilt ∩{{m∈ℕ | m≥n} | n∈ℕ}=∅ .

Es gibt auch offenbar gar kein ausgezeichnetes \(n\in\mathbb{N}\) in dieser Aufgabe.

Answer 2

Ich lese die linke Seite als \(\bigcap\limits_{n\in \mathbb{N}} \{m\in\mathbb{N}\mid m\ge n\}\).

Zum Verständnis setze \(M_n:=\{m\in\mathbb{N}\mid m\ge n\}\) und berechne einige Beispiele (\(M_1,M_2,...\)). Markiere diese auf dem Zahlenstrahl und schneide alle.