Relation "kleiner gleich" totale Ordnung auf Q

Question

Aufgabe:

Beweise: Die kleiner-gleich-Relation ist eine totale Ordnung auf Q

Es gilt: a/b = c/d genau dann, wenn ad <= cb falls bd>0 und cb<=ad falls bd<0.

Comments

Such doch schon mal die Eigenschaften aus deinem Skript heraus und erläutere, wo genau das Problem ist.

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Das wäre mein Ansatz dazu

Text erkannt:

b) Iff.: Sei \( \frac{a}{a} \in Q \). Dann girt
\( \frac{a}{a} \leq \frac{a}{b} \)
da al =al gilt, is die Unjlailm, ujült \( \leq \) ist reglesiv
autisym.: Je \( \frac{a}{a}, \frac{c}{d} \in \mathbb{Q} \) mir
\( \frac{a}{b} \leq \frac{c}{a} \quad u \cdot \frac{c}{d} \leq \frac{a}{b} \)

Falls ods 0 silt:
\( a d \leq b c \) und \( b c \leq a d \Rightarrow a d=b c \Rightarrow \frac{a}{a}=\frac{c}{d} \)
Fall, bd \( <0 \) :
\( b d \leqslant a d \quad u \cdot a d \leqslant b c \Rightarrow a d=c c \Rightarrow \frac{a}{a}=\frac{c}{d} \) \( \leq \) is autiyl uneminich
tranitiv: Sien \( \frac{a}{a}, \frac{c}{d}, \frac{e}{f} \in \mathbb{Q} \) mit
\( \frac{a}{b} \leq \frac{c}{d} \quad u \cdot \frac{c}{d} \leq \frac{c}{f} \)

Fall b, d, g so:
\( a d \leq b c \) u. \( c y \leq d e \) (any gleila Nanr bringer) adjsbcy u.cgesteb \( \Rightarrow \) aysle, du \( \frac{a}{l} \leq \frac{e}{l} \) falls bdj \( <0 \)
Die Def. van \( \leq \) berwetelditist des korrell dener undeling de Vejplaissidery
\( \leq \text { is tranitiv } \)

Text erkannt:

Eoral: Jim \( \frac{a}{e}, \frac{c}{d} \in \mathbb{Q} \). Dame bit
\( a d \leq l<0 \cdot l c \leq a d \)

Je muldern, ob \( l d>0 \) o. \( l d<0 \), it also
\( \frac{a}{e} \leq \frac{5}{d} \quad 0 \leq \frac{a}{e} \)
\( \Rightarrow \) Ordum, ist total

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Sieht doch gut aus. Ich denke, man kann sich o.B.d.A. auf den Fall Nenner jeweils > 0 beschränken, da man das Vorzeichen immer in den Zähler ziehen kann.

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Muss es nicht lauten:

Es gilt: a/b ≤ c/d genau dann,

Answer 1

Ordne die rationalen Zahlen in dieser Weise an:

Dann ist für jede Zahl \( \frac{m}{n} \) entscheidbar, ob eine andere rationale Zahl kleiner (grün), größer (pink) oder gleichgroß (gelb) ist.

Comments

Der Beweis hat leider große Lücken.

Was ist, wenn beide Zahlen (wie 1/2 und 2/3) grün sind?

Weiterhin tauchen in der Tabelle auch nur Brüche mit positiven Zähler und Nenner auf.

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Mathecoach, du hast recht, man müsste meine Überlegungen (die ganz sicher nicht den Charakter eines Beweises haben) auf negative, rationale Zahlen erweitern.

Unrecht hast du mit der Annahme, dass zwei grüne Zahlen miteinander verglichen werden sollen. Es ist vielmehr so, dass sich die farbigen Bereiche aus einer vorgegebenen Zahl ergeben, also von einer der beiden zu vergleichenden Zahlen abhängen. Der Trennkorridor (gelb) besteht immer aus Zahlen gleicher Größe, Meine Abbildung ist nur ein Beispiel.