Hilberträume über komplexe Zahlen

Question

ich hätte einmal eine Frage zu dem Thema Hilberträume und komplexen Zahlen:

Sei X ein komplexer Vektorraum mit Skalarprodukt.
Frage: Sei x in X. Ist U ein echter komplexer Untervektorraum von X und gelte Re(<u,x>) = 0 für alle u aus U.
Folgt dann auch <u,x> = 0 für alle u aus U ?

Comments

Schau mal auf Re(<iu,x>)

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Das ist dann auch Null, aber wie komme ich damit darauf, dass der Imaginärteil auch 0 sein muss (falls die Aussage stimmt) ?

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Sei <u,x> = ai, weil der Realteil null ist, dann gilt <iu,x> = i <u,x> = -a = 0. Also gilt auch a = 0.

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dann gilt <iu,x> = i <u,x>

Tut es nicht, denn

\(\langle\mathrm{i}u,x\rangle=\overline{\mathrm{i}}\langle u,x\rangle\) (Semilinearität im ersten Argument).

Das Resultat ist aber dasselbe.

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In dem einen Teil der Welt ist das Skalarprodukt per Definition im ersten Argument linear und im anderen im 2. Argument.

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Vielen Dank für die Richtigstellungen.