Sind diese Vektorräume über Q bzw. R isomorph?

Question

Aufgabe:

Sei V1 der $\mathbb Q$-Vektorraum aller Polynome zweiten Grades und sei V2 der $\mathbb R$-Vektorraum aller Polynome zweiten Grades.

Sind V1 und V2 isomorph?

Problem/Ansatz:

Zwei Vektorräume sind genau dann isomorph, wenn sie dieselbe Dimension besitzen, und da

$(1, x, x^{2})$

sowohl eine Basis von V1 als auch von V2 ist, sind V1 und V2 folglich isomorph.

Oder übersehe ich da etwas?

Answer 1

Zwei Vektorräume sind genau dann isomorph, wenn sie dieselbe Dimension besitzen,

Das gilt für endlichdimensionale Vektorräume über dem gleichen Körper.

Jeder Isomorphismus ist eine bijektive Abbildung.

V₁ ist abzählbar, weil ℚ abzählbar ist.

V₂ ist überabzählbar, weil ℝ überabzählbar ist.

Also gibt es keine bijektive Abbildung zwischen V₁ und V₂.

Also sind V₁ und V₂ nicht isomorph.

Comments

Oh, danke! Dann habe ich keine Idee für die Aufgabe, du vielleicht?

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Ja, habe ich gerade ergänzt.

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Vielen Dank, oswald! Aber dass V1 und V2 beide die Dimension 3 haben, stimmt oder nicht?

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Ja, beide haben die Dimension 3.

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:) Dann habe ich es jetzt verstanden