Gibt es eine Ebene, die eine Trägergerade enthält, aber nicht zu einer Ebenenschar gehört?

Question

Zeigen Sie, dass die folgenden Ebenenscharen E, (a ∈ IR) Ebenenbüschel bilden. d.h., dass alle Ebenen der Schar sich in einer Geraden schneiden. Bestimmen Sie auch eine Gleichung dieser gemeinsamen Trägergeraden. Geben Sie jeweils eine Ebene an, die ebenfalls die Trägergerade enthält, aber nicht zur Ebenenschar gehört.


E_a: 2ax+(4-a) y-2z = 6

Diese Aufgabe wurde schon mal gestellt, allerdings ohne konkrete Lösung.

Ich bin wie folgt vorgegangen:

Ich habe a=1 und a=2 gewählt und damit die folgenden Ebenen erhalten:
a=1: E₁: 2x+3y-2z = 6 und
a=2: E2: 4x+2y-2z = 6
Es ergibt sich dann die Schnittgerade: $$\vec{x}=\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 1\\2\\4 \end{pmatrix}$$
Wenn man diese Schnittgerade dann in  Ea einsetzt, erhält man die allgemein gültige Gleichung 6=6 und hat damit den Nachweis geführt, dass diese Schnittgerade gültig ist für 2 beliebige Ebenen von E_a.
So weit, so gut.
Nun zum letzten Teil der Aufgabe, wo man eine Ebene bestimmen soll, die die Trägergerade enthalten soll, aber die nicht zur Ebenenschar gehören soll.
Ausgehend von der Trägergerade, muss man noch einen weiteren Richtungsvektor finden, um die Ebene zu bestimmen. Hier liegt das Problem. Ich habe keinen Richtungsvektor gefunden, der den Anforderungen entspricht. Jeder Richtungsvektor führte stets zu einer Ebenengleichung, die eine Äquivalenzgleichung zur gegebenen Gleichung von Ea darstellte.
Beispiel:
$$\vec{x}=\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 1\\2\\4 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}$$
Dies ergibt die Koordinatengleichung der Ebene: -4x+z= -3, multipliziert mit (-2), ergibt sich 8x-2z=6
Wenn ich a=4 wähle, erhalte ich auch 8x-2z=6. Also gehört die Ebene auch zur Ebenenschar.
Gibt es überhaupt eine Ebene, die die Anforderungen erfüllt und wie findet man diese?

Comments

Beide Aufgabenteile lassen sich mit einem Schlag wie folgt lösen :

Man überlege sich, ob der Punkt P = (u | v | w) zu einer Ebene der Schar - und wenn ja : zu welcher - gehört.
Dazu muss dann 2a*u + (4-a)*v - 2w = 6, also a*(2u-v) = 6 - (4v-2w) sein.
Falls 2u-v ≠ 0 ist, lässt sich das eindeutig nach a auflösen und P liegt in einer der Ebenen.
Ansonsten ist 2u-v=0 bzw. 2x-y=0 bereits die in Teil 2 gesuchte Ebene E.
So ein Punkt P liegt allerdings doch in E, falls außerdem 6-(4v-2w) = 0 ist und die Lösung des Gleichungssystems 2u-v = 0  und 4v-2w = 6 ist genau die in Teil 1 gesuchte Trägergerade.

Answer 1

Der Vektor \(\vec{v}\coloneqq\left(\begin{smallmatrix}4a-20\\8a+2\\-5a+4\end{smallmatrix}\right)\) ist orthogonal zum Normalenvektor der Ebene und orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden.

Finde einen Vektor \(\vec{w}\), der orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden ist, aber für kein \(a\in \mathbb{R}\) ein Vielfaches von \(\vec{v}\) ist.

Answer 2

2·a·x + (4 - a)·y - 2·z = 6

Was passiert jetzt, wenn a in der Ebene gegen unendlich geht. Da unendlich keine Zahl ist kannst du unendlich nicht einsetzen. Wir teilen daher mal durch a und bilden den Grenzwert für a gegen unendlich.

2·a/a·x + (4/a - a/a)·y - 2/a·z = 6/a

Für a gegen unendlich

2·x + (0 - 1)·y - 0·z = 0
2·x - y = 0

Wir prüfen mal ob die Trägergerade in dieser Ebene liegt.

2·(r + 1) - (2·r + 2) = 0
2·r + 2 - 2·r - 2 = 0
0 = 0

Diese Ebene enthält also die Trägergerade, ist selber aber keine Ebene der Schar.