Welcher Ansatz ist hier der simpelste und effektivste?

Question

Aufgabe:

Verfahren entwickeln, mit dem ich prüfen kann, ob ein Punkt P auf einem durch den rotierenden Vektor v um die X Achse entstandenen Kegel liegt.

Problem/Ansatz:

Welcher Ansatz ist hier der simpelste und effektivste? Habe bisher den Abstand des Punktes P mit dem Radius des Kegels zur Stelle X des Punktes gleichgesetzt und dann geguckt ob die Gleichung stimmt oder eben nicht. Ist das ein valider Ansatz?

Answer 1

Anstatt hier mit Radius und Abstand zu arbeiten, nimm die entsprechende Kreisgleichung des Schnittkreises des Kegels mit der Ebene \(x=x_P\). Das erspart dir die Wurzel. Ob der Punkt \(P\) auf diesem Schnittkreis liegt, kommt dann deinem Gleichsetzen von Abstand und Radius gleich (Punktprobe).

Comments

Prüfe, ob folgende zwei Bedingungen erfüllt sind :
\( |\vec{p}|\leq |\vec{v}|\) und die Vektoren \(\vec{p}\) und \(\vec{v}\) machen gleiche Winkel mit der x-Achse.

(Falls die Grundfläche des Kegels nicht auch zur Konkurrenz zugelassen ist)

Answer 2

Dein Ansatz ist valide.

Ich würde mir einfach schnell die Gleichung des Doppelkegels besorgen:

$$v=\begin{pmatrix} v_x\\v_y \\ v_z \end{pmatrix}\Rightarrow \frac 1{v_x}v= \begin{pmatrix} 1\\a \\ b \end{pmatrix}\Rightarrow R^2 = a^2+b^2$$

(Doppel)Kegelgleichung: \(\boxed{y^2+z^2 = R^2x^2}\)

Die Koordinaten eines Punktes \(P(x,y,z)\) auf dem Kegel müssen diese Gleichung erfüllen.

Anhand von \(v_x\) kannst du entscheiden, ob du nur den Kegel in positive oder negative x-Richtung betrachten willst und ob der Kegel bei \(v_x\) endet.