Konfidenzintervall Verständnisfrage

Question

Aufgabe:

Kann mir jemand kurz bestätigen, ob ich die Theorie hinter Kofidenzintervallen richtig aufgefasst habe?

Problem/Ansatz:

Man nehme an, der Populationsparameter θ und die Verteilung für unseren Fall z.B. der Mittelwert und die Normalverteilung seien gegeben. E(T(X)) = μ. Das Intervall [c1, c2] sei symmetrisch um μ und das 95% Wahrscheinlichkeitsintervall. Wenn man nun eine Stichproben aus der Population zieht und den Mittelwert bildet wird dieser Wert mit 95% Wahrscheinlichkeit im Intervall [c1,c2] liegen. Anders ausgedrückt: Mit 95% Wahrscheinlichkeit liegt der Mittelwert im Intervall [c1,c2].

Da die Normalverteilung, die man aus dem Mittelwert der Stichprobe und gegebener Standardabweichung darstellt, die gleiche Form besitzt nur verschoben ist zu der Normalverteilung N(μ, σ² ) wird mit 95% Wahrscheinlichkeit der Populationsparameter im 95% Wahrscheinlichkeitsintervall der Normalverteilung mit Mittelwert der Stichprobe liegen.

Comments

Fast, es ist nicht richtig zu sagen, dass „der Mittelwert mit 95 % Wahrscheinlichkeit im Intervall liegt“, wenn Du eine konkrete Stichprobe meinst.
Der Populationsmittelwert (μ) ist ein fester Wert (unbekannt, aber fix). Das Intervall ist zufällig, weil es von der Stichprobe abhängt.

Besser wäre:

Wenn man viele Stichproben zieht und für jede ein 95%-Konfidenzintervall berechnet, dann werden etwa 95 % dieser Intervalle den wahren Mittelwert μ enthalten.
Für deine eine gezogene Stichprobe und das berechnete Intervall kannst du sagen: „Mit 95 % Konfidenz schätzen wir, dass der Populationsmittelwert im Intervall liegt.“ Aber nicht: „Mit 95 % Wahrscheinlichkeit liegt μ im Intervall.“

Die Wahrscheinlichkeit bezieht sich auf das Verfahren, nicht auf den konkreten Wert.

Answer 1

Das ist eine häufige und typische Fehlinterpretation. Der wahre Wert ist nicht zufällig und liegt damit nicht mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit im Konfidenzintervall. Es ist genau andersherum: Die Grenzen des Konfidenzintervalls sind zufällig und hängen vom verwendeten Schätzverfahren und der Stichprobe ab. Die so berechneten Konfidenzintervalle vieler solcher Stichproben enthalten dann mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit den wahren Parameter für die Verteilung der Grundgesamtheit.

Siehe auch:

https://de.wikipedia.org/wiki/Konfidenzintervall

Wenn man nun eine Stichproben aus der Population zieht und den Mittelwert bildet wird dieser Wert mit 95% Wahrscheinlichkeit im Intervall [c1,c2] liegen. Anders ausgedrückt: Mit 95% Wahrscheinlichkeit liegt der Mittelwert im Intervall [c1,c2].

Das ist die Fehlinterpretation.

Korrekt wäre:

Bestimmt man für diese Stichprobe das 95 %-Konfidenzintervall, so enthält es mit 95 %iger Wahrscheinlichkeit den wahren Parameter \(\theta\). Anders ausgedrückt: Mit 95 %iger Wahrscheinlichkeit enthält das 95 %-Konfidenzintervall den Parameter \(\theta\).