Welche Endgeschwindigkeit erreicht die Masse? Differentialgleichung

Question

Aufgabe:

Die Bewegung einer Masse, die durch eine konstante Kraft beschleunigt wird und einer der
Geschwindigkeit
v
proportionale Reibungskraft unterliegt, genüge der folgenden
Differentialgleichung:

10*Dv/Dt +V = 40   Mit Bedingung: V(0) = 10

Wie lautet das Geschwindigkeits - Zeit Gesetz v=v(t)

Welche Endgeschwindigkeit erreicht die Masse?

Problem/Ansatz:

Habe die Spezielle Lösung e^4*t*e^ln(10) raus, habe das Gefühl das ich mich verrechnet habe, kann mir jemand helfen?

Comments

Ja, das ist nicht korrekt. Teile mal Deinen Rechenweg. Es sollte

v(t) = 40 - 30e^-t

herauskommen,

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Sorry ich habe die Aufgabenstellung falsch geschrieben und nochmal überarbeitet die urspüngliche Differentialgleichung ist 10*dv/dt +v = 40 mit Bedingung V(0)=10

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Ist v=V? Auch Deine Lösung ist vermutlich falsch (ab)geschrieben, es fehlen wohl Klammern. Nach Ergänzen der Klammern kannst Du Deine Lösung selbst überprüfen: Mach die Probe. Dein Ergebnis?

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ändert nicht viel:

v(t) = 40 - 30e^-t/10

Answer 1

Wie lautet das Geschwindigkeits - Zeit Gesetz v=v(t)

v(t) = 40 - 30/e^{0.1t}

Vergleiche mit einem Online Tool Deiner Wahl

https://www.wolframalpha.com/input?i=10*v%27%28t%29%2Bv%28t%29%3D40%2Cv%280%29%3D10

Welche Endgeschwindigkeit erreicht die Masse?

lim (t→∞) v(t) = 40

Es ist allerdings sehr unüblich, dass keine Einheiten gegeben sind.

Answer 2

Hallo,

Wie lautet das Geschwindigkeits - Zeit Gesetz v=v(t)

Lösung via Trennung der Variablen:

\( \begin{array}{l}\left.10 \frac{d v}{d t}+v=40 \quad \right\rvert\,-v \\ \left.10 \frac{d v}{d t}=40-v \quad \right\rvert\, \cdot d t \\ 10 d v=(40-v) d t \quad \mid :(40-v) \\ \int \frac{10 d v}{40-v}=\int d t\end{array} \)

 \( \begin{aligned}- 10\ln\mid 40-v| & =t+c \quad \mid :(-10) \\ \ln|40-v| & \left.=\frac{t+c}{-10} \quad \right\rvert\, e^{\text {hoch }} \\ |40-v| & =e^{\frac{t+c}{-10}}=e^{-\frac{t}{10}} · e^{-\frac{c}{10}} \\ 40-v & =e^{-\frac{t}{10}}· \underbrace{ \pm e^{-\frac{c}{10}}}_{c_{1}} \\ 40-v & =c_{1} \cdot e^{-\frac{t}{10}} \\ v & =40-c_{1} e^{-\frac{t}{10}}\end{aligned} \)

die Anfangsbedingung v(0)=10 eingesetzt:

v(t) =40-30 \( e^{\frac{-t}{10}} \)