Hier ist die Aufgabe einem Dreieck ABC gelte | ACB|= γ > 90.
Beweisen Sie: Wenn sich das Dreieck ABC mit einem Strahl durch C in zwei gleichschenklige
Teildreiecke zerlegen lässt, dann ist ein Innenwinkel des Dreiecks ABC doppelt oder dreimal
so groß wie ein anderer Innenwinkel dieses Dreiecks.
Hier sind die Lösungen
Der Strahl durch C soll das Dreieck ABC in zwei Dreiecke zerlegen. Damit schneidet der
Strahl die Strecke AB in einem inneren Punkt, diesen Punkt bezeichnen wir mit D. Somit gilt
| ACB|= γ= | ACD| +| DCB|.
Die Winkel BDC und CDA können nicht beide spitz sein, da sie sich als Nebenwinkelpaar
zu 180 ergänzen. Wir können also (ggf. durch Vertauschen von „A“ und „B“) die Bezeichnun-
gen als so gewählt voraussetzen, dass der Winkel BDC nicht spitz ist. Da in jedem Dreieck
mindestens zwei Winkel spitz sind, ist BDC kein Basiswinkel. Die Gleichschenkligkeit des
Dreiecks DBC ist demzufolge nur durch |DC|= |DB| und somit
| DCB|= | CBD|= β
herstellbar. Damit gilt nach dem Außenwinkelsatz | CDA| = 2· β.
Für die Gleichschenkligkeit des Teildreiecks ADC sind die Fälle |DC|= |DA|, |CD|= |CA|
und |AD|= |AC| zu untersuchen.
C
Fall 1: Ist |DC|= |DA|, so gilt |DA|= |DC|= |DB| (siehe oben) und damit ist der Winkel
ACB nach dem Satz des Thales ein rechter und kein stumpfer Winkel im Widerspruch
zur Voraussetzung.
Fall 2: Ist |DC|= |AC|, so folgt aus | CDA| = 2· β auch | DAC|= α = 2· β.
Somit ist ein Innenwinkel des Dreiecks ABC doppelt so groß wie ein anderer Innenwinkel.
Fall 3: Ist |AD|= |AC|, so gilt | CDA|= | ACD| = 2· β. Daraus folgt
γ= | ACD| +| DCB| = 2· β +β = 3· β .
Somit ist ein Innenwinkel des Dreiecks ABC dreimal so groß wie ein anderer Innenwinkel.
Die Aussage der Aufgabenstellung wurde damit bewiesen.
Bei dem Bild ist das
LINKE DRIECK FALL 1
Mitte Dreieck Fall 2
Rechte Dreieck Fall 3
kann mir jemand Fall 2 und Fall 3 erklären bitte
