Zeigen Sie, dass jede Umordnung einer absolut konvergenten Reihe auch wieder konvergiert.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass jede Umordnung einer absolut konvergenten Reihe auch wieder konvergiert.

Problem/Ansatz:

Ich rätsel wie ich das zeigen kann. Über die Folge der Partialsummen? Die Kriterien wie Quotienten- oder Wurzelkriterium sind ja hinreichend, nicht notwendig. Ich muß ja auch jede denkbare Umordnung packen.

Die Summanden müssen eine Nullfolge bilden, notwendiges Kriterium, ivielleicht darüber?

Answer 1

Ja, über die Partialsummen.

Natürlich (logischerweise!) nicht über notwendige Kriterien.

Man nennt das Umordnungssatz und einen Beweis findest Du z.B. hier:

https://www.mathematik.uni-muenchen.de/~gerkmann/wise24-25/analina1/vl/vl30.pdf

Du brauchst nur die ersten 1.5 Folien, Du sollst ja nur Konvergenz zeigen.

Comments

Danke, dann geht das ja erstaunlicherweise ganz schnell?

Die Partialsummen der Beträge der umgeordneten Reihe sind eine monoton wachsende Folge und zusätzlich nach oben durch den Grenzwert der gegebenen Reihe beschränkt, also ist auch die umgeordnete Reihe konvergent. Korrekt?

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Ja, genau.                  .