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Wir erinnern an den folgenden Definitionen.
Definition 1. Sei \( f: M \rightarrow N \) eine Abbildung von Mengen. Wir sagen, dass \( f \) injektiv ist, wenn für alle \( x, y \in M \) mit \( f(x)=f(y) \Longrightarrow x=y \) gilt. In Worten: jedes Element in \( N \) hat höchstens ein Urbild.
Die Abbildung \( f \) ist surjektiv, wenn für alle \( z \in N \) ein \( x \in M \) existiert, mit \( f(x)=z \). In Worten: jedes Element in \( N \) hat mindestens ein Urbild.
Die Abbildung \( f \) ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.
Zudem erinnern wir an der Definition von Verkettungen.
Definition 2. Sei \( f: M \rightarrow N \) eine Abbildung von Mengen. Seit außerdem \( g: N \rightarrow K \) eine weitere Abbildung. Wir definieren die Verkettung
\( g \circ f: M \rightarrow K, \quad x \mapsto g(f(x)) . \)
Dies ist eine Abbildung.
Eine Umkehrabbildung von \( f \) ist eine Abbildung \( g: N \rightarrow M \) mit der Eigenschaft
\( f \circ g=i d_{N}: N \rightarrow N, \quad x \mapsto x \quad \text { und } \quad g \circ f=i d_{M}: M \rightarrow M, \quad y \mapsto y . \)
Eine Abbildung von Mengen ist genau dann bijektiv, wenn sie eine Umkehrabbildung hat.
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Aufgabe 1 (5 Punkte). Affine vs, projektive Ebene. Wir definieren die Abbildung
\( f_{P}: \underline{P}_{\mathrm{A}\left(\mathbb{R}^{2}\right)} \rightarrow \underline{P}_{\mathbb{P}\left(\mathbb{R}^{2}\right)} \)
die einen Punkt \( (x, y) \) auf den Punkt \( \mathbb{R} \cdot(x, y, 1) \) abbildet. Wir definieren ebenso die Abbildung
\( f_{G}: \underline{G}_{\mathrm{A}\left(\mathbb{R}^{2}\right)} \rightarrow \underline{G}_{\mathbb{P}\left(\mathbb{R}^{2}\right)}, \overleftarrow{\left(p_{1}, p_{2}\right)\left(q_{1}, q_{2}\right)} \mapsto \mathbb{R} \cdot\left(p_{1}, p_{2}, 1\right)+\mathbb{R} \cdot\left(q_{1}, q_{2}, 1\right) \)
(a) Zeige, dass \( f_{P} \) injektiv ist.
(b) Folgere, dass \( f=\left(f_{P}, f_{C}\right) \) eine Abbildung von Inzidenzebenen ist.
(c) Berechne \( f_{P}(1,0), f_{P}(0,1), f_{P}(3,5) \).
(d) Finde \( v_{1} \) und \( v_{2} \) sodass \( f_{G}\left(g_{(0,1),(3,5)}\right) \) die Ebene \( \mathbb{R} \cdot v_{1}+\mathbb{R} \cdot v_{2} \) ist.
Hinweis: Finde die Bilder von zwei Punkten auf \( g_{(0,1),(3,5)} \) und dann verbinde sie durch eine Ebene.
(e) Sei \( g=V_{\text {a }, \text { b }, 0}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid a x+b y+c=0\right\} \). Zeige, dass
\( f_{G}(g)=\bar{V}_{a, b, c}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid a x+b y+c z=0\right\} \)
