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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass jede Umordnung einer absolut konvergenten Reihe auch wieder konvergiert.


Problem/Ansatz:

Ich rätsel wie ich das zeigen kann. Über die Folge der Partialsummen? Die Kriterien wie Quotienten- oder Wurzelkriterium sind ja hinreichend, nicht notwendig. Ich muß ja auch jede denkbare Umordnung packen.

Die Summanden müssen eine Nullfolge bilden, notwendiges Kriterium, ivielleicht darüber?

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Beste Antwort

Ja, über die Partialsummen.

Natürlich (logischerweise!) nicht über notwendige Kriterien.

Man nennt das Umordnungssatz und einen Beweis findest Du z.B. hier:

https://www.mathematik.uni-muenchen.de/~gerkmann/wise24-25/analina1/vl/vl30.pdf

Du brauchst nur die ersten 1.5 Folien, Du sollst ja nur Konvergenz zeigen.

Avatar vor von 11 k

Danke, dann geht das ja erstaunlicherweise ganz schnell?

Die Partialsummen der Beträge der umgeordneten Reihe sind eine monoton wachsende Folge und zusätzlich nach oben durch den Grenzwert der gegebenen Reihe beschränkt, also ist auch die umgeordnete Reihe konvergent. Korrekt?

Ja, genau.                  .

@karosieben: Was Du jetzt zusammengefasst hast, bezieht sich auf die Reihe der Absolut-Summanden. Damit folgt die absolute Konvergenz der Umordnungsreihe. Mit einem weiteren- natürlich wohlbekannten-Satz folgt daraus auch die Konvergenz der Umordnungsreihe selbst.

@Mathhilf: Danke für die Ergänzung, stimmt, in der Aufgabenstellung steht nichts von absoluter Konvergenz, auch wenn sie gilt und die bedingte Konvergenz daraus folgt (was wohl der Satz ist, denn Du ansprichst).

In Deiner Aufgabenstellung steht absolute Konvergenz als Voraussetzung, genau wie in der verlinkten Quelle. Daraus folgert man die absolute Konvergenz der umgeordneten Reihe. Der wohlbekannte Satz, den man im Kopf haben sollte (und vlt erwähnen), ist, dass aus absoluter Konvergenz einer Reihe deren Konvergenz folgt. Mit "bedingter Konvergenz" hat man hier nichts zu tun, mach die Dinge nicht komplizierter als sie sind.

Ich meinte in der Aufgabenstellung wird nicht die absolute Konvergenz für die Umordnungsreihe gefordert.

Ist (bedingte) Konvergenz nicht dasselbe wie Konvergenz?

Nein, ist es nicht (schlag die Definition nach), es gäbe ja sonst keinen neuen Begriff. Achte genau auf die Formulierungen und nochmal, mach es nicht unnötig kompliziert durcb Begriffe, die weder in in der Aufgabe noch in der Lösung vorkommen.

@Karosieben: ist schon fast so, wie Du schreibst. Mit bedingter Konvergenz meint man die Fälle, wenn Konvergenz aber keine absolute Konvergenz vorliegt. Wird in der Praxis häufig etwas schlampig synonym verwandt.

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