Warum haben 2 homogene lineare Gleichungssystreme unterschiedliche Lösungen, obwohl der Austausch von nur einer …

Question

Aufgabe:

Warum haben 2 homogene lineare Gleichungssystreme unterschiedliche Lösungen, obwohl der Austausch von nur einer Gleichung am vorherigen Ergebnis eigentlich nichts ändern dürfte ?

Problem/Ansatz:

Folgendes lineares Gleichungssystem wurde mit

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm

gelöst.

-3,456a + -1,44b + c +  -18,522a + -4,41b + c +  -24,334a + -5,29b + c =  -351,232a + -31,36b + c
-351,232a + -31,36b + c = d
175,616a + c = d
175,616a + 31,36b + 5,6e + c = d
175,616a + 31,36b + 5,6f + c = d + 5,6g + 5,6h + 5,6i
175,616a + 31,36b - 5,6f + c = d - 5,6j
175,616a + 31,36b - 5,6e + c = d + 5,6k + 5,6m + 5,6o
31,36q + 5,6r + f = g + h + i
31,36q + 5,6r - f = 1,44q + 1,2r - f - 1,44s - 1,2r +  4,41q + 2,1r - f - 4,41s - 2,1r +  5,29q + 2,3r - f - 5,29s - 2,3r
j = 1,2l + k - 1,44q - 1,2r + e +  2,1n + m - 4,41q - 2,1r + e +  2,3p + o - 5,29q - 2,3r + e
i - j = 5,29q + 2,3r - e
h - j = 4,41q + 2,1r - e
g - j = 1,44q + 1,2r - e
31,36q + 5,6r - e = 5,6p + o
31,36q + 5,6r - e = 5,6n + m
31,36q + 5,6r - e = 5,6l + k
1,65s + r = l
2,2s + r = n
1,75s + r = p

die Lösung ist: (von Bedeutung sind hier nur die Werte von a und q)a = µ
b = -16,8µ
c = 17,388µ
d = 193,004µ
e = 94,08µ
f = 30,33µ
g = -5,67µ
h = -27µ
i = -31,08µ
j = 124,41µ
k = -55,44µ
l = -23,7µ
m = -73,92µ
n = -20,4µ
o = -58,8µ
p = -23,1µ
q = 3µ
r = -33,6µ
s = 6µ

  µ aus R

a = µ, dann sind 3a = 3µ

q ist aber ebenfalls = 3µ

also sind 3a = q

wenn ich die oben in rot gekennzeichnete Gleichung aus dem Gleichungssystem durch 3a = q ersetze, haben jetzt alle Unbekannten den Wert 0.

a = 0
b = 0
c = 0
d = 0
e = 0
f = 0
g = 0
h = 0
i = 0
j = 0
k = 0
l = 0
m = 0
n = 0
o = 0
p = 0
q = 0
r = 0
s = 0

(sonst keine Lösung
mit einem Parameter)

Vielen Dank im voraus für eine eventuelle Hilfe.

mit freundlichen Grüßen

Martin Hümer, Wesertal

Comments

Also erstmal ist die Schrebweise mit ‚+-‚ in der ersten Zeile: furchtbar!

Und dann hast Du

\( 3 \mathrm{a}=\mathrm{q} \) aus der Lösung abgeleitet und gedacht, das sei gleichwertig zur ursprünglichen roten Gleichung, was nicht richtig ist.

Beispiel: Wenn du diese beiden Gleichungen hast:

1. \( x+y=0 \)
2. \( 2 x+2 y=0 \)

Dann ist offensichtlich Gleichung 2 das doppelte der Gleichung 1 und es gibt unendlich viele Lösungen. Nun nimmst Du die spezielle Lösung x=1, y=-1 , die offensichtlich Gleichung 1 erfüllt und ersetzt Gleichung 1 damit. Jetzt gibt es auf einmal nur noch eine einzige Lösung des (neuen und veränderten) Gleichungssystems.

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siehe die Antwort von oswald weiter unten

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Nachtrag:

Hallo user26605,

warum soll die Addition von 3 negativen Termen furchbar sein ? Kennst Du die Logik dieser Gleichung schon ?

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Weil man statt \(+-\) auch einfach nur \(-\) schreiben kann...

Answer 1

Mein Programm liefert für beide Gleichungssystem die selbe Lösungsmenge.

Comments

Schade, dass es im Internet nicht ein besseres Rechenprogramm als arndt-bruenner

gibt.

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Was besser ist, hängt von deinen Bewertungsmaßstäben ab. wxMaxima hat einen wesentlich höheren Funktionsumfang, allerdings ist die Einarbeitung aufwendiger. Leider ist das Programm nicht im Internet.

eqs: [
    -3.456*a + -1.44*b + c +  -18.522*a + -4.41*b + c +  -24.334*a + -5.29*b + c =  -351.232*a + -31.36*b + c,
    -351.232*a + -31.36*b + c = d,
    175.616*a + c = d,
    175.616*a + 31.36*b + 5.6*e + c = d,
    175.616*a + 31.36*b + 5.6*f + c = d + 5.6*g + 5.6*h + 5.6*i,
    175.616*a + 31.36*b - 5.6*f + c = d - 5.6*j,
    175.616*a + 31.36*b - 5.6*e + c = d + 5.6*k + 5.6*m + 5.6*o,
    31.36*q + 5.6*r + f = g + h + i,
    31.36*q + 5.6*r - f = 1.44*q + 1.2*r - f - 1.44*s - 1.2*r +  4.41*q + 2.1*r - f - 4.41*s - 2.1*r +  5.29*q + 2.3*r - f - 5.29*s - 2.3*r,
    j = 1.2*l + k - 1.44*q - 1.2*r + e +  2.1*n + m - 4.41*q - 2.1*r + e +  2.3*p + o - 5.29*q - 2.3*r + e,
    i - j = 5.29*q + 2.3*r - e,
    h - j = 4.41*q + 2.1*r - e,
    g - j = 1.44*q + 1.2*r - e,
    31.36*q + 5.6*r - e = 5.6*p + o,
    31.36*q + 5.6*r - e = 5.6*n + m,
    31.36*q + 5.6*r - e = 5.6*l + k,
    1.65*s + r = l,
    2.2*s + r = n,
    1.75*s + r = p
]$
vars: listofvars(eqs)$

solution_1: solve(append(eqs, [a=mu]), vars);

eqs[15]: 3*a=q$
solution_2: solve(append(eqs, [a=mu]), vars);

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Hallo oswald,

vielen Dank

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Hallo oswald,

ich hoffe nicht, dass ich Dich nerve, aber mich würde der Rang noch interessieren oder soll ich dafür noch eine separate Frage aufmachen ?

Vielen Dank im voraus.

mit freundlichen Grüßen von der Weser

Martin Hümer

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Rang ist Anzahl der Variablen minus Anzahl der Parameter in der Lösung.

Answer 2

Einiges wurde ja schon hier https://www.mathelounge.de/1056830/uberprufung-der-berechneten-werte-eines-gleichungssystems erläutert. Es kann bei der Lösung von Gleichungssystemen immer zu numerischen Schwierigkeiten kommen, vor allem, wenn die Systeme größer sind.

Zur eigentlichen Frage:

Wieso sollte der Austausch einer Gleichung nicht zu einer anderen Lösung führen, wenn die Gleichungen nicht gerade äquivalent sind? Ich sehe jetzt nicht, wieso die Gleichungen

31,36q + 5,6r - e = 5,6n + m

und

3a = q

äquivalent sein sollten. Hast du das geprüft? Wenn sie es nicht sind, sollte doch klar sein, dass die Lösung der Systeme nicht identisch sein muss. Oder wie kommst du darauf, dass der Austausch nichts ändern dürfte?

Comments

siehe die Antwort von oswald weiter oben

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Nachtrag:
Hallo Apfelmännchen,

2024 war es nur ein inhomogenes und jetzt ist es nach Veränderung ein homogenes Gleichungssystem geworden.