Aloha :)
Die Eigenwerte der Matrix \(A\) sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{cccc}0-\lambda & -\alpha & 0 & 0\\0 & \red{\alpha-\lambda} & 0 & 0\\2 & 1 & \green{\alpha-\lambda} & 2\\0 & 2 & 0 & 0-\lambda\end{array}\right|$$Wir ziehen aus der dritten Spalte den gemeinsamen Faktor \(\green{(\alpha-\lambda)}\) vor die Determinante und aus der zweiten Zeile den gemeinsamen Faktor \(\red{(\alpha-\lambda)}\).$$0\stackrel!=\green{(\alpha-\lambda)}\cdot\red{(\alpha-\lambda)}\cdot\left|\begin{array}{cccc}-\lambda & -\alpha & 0 & 0\\0 & \red1 & 0 & 0\\2 & 1 & \green1 & 2\\0 & 2 & 0 & -\lambda\end{array}\right|$$Wir entwickeln die Determinante nach der roten \(\red1\) und nach der grünen \(\green1\).$$0\stackrel!=(\alpha-\lambda)^2\cdot\red1\cdot\left|\begin{array}{ccc}-\lambda & 0 & 0\\2 & \green1 & 2\\0 & 0 & -\lambda\end{array}\right|=(\alpha-\lambda)^2\cdot\red1\cdot\green1\cdot\left|\begin{array}{cc}-\lambda & 0\\0 & -\lambda\end{array}\right|=(\alpha-\lambda)^2\cdot\lambda^2$$Die Matrix hat also zwei Eigenwerte mit jeweils der algebraischen Vielfachheit \(2\):$$\lambda_1=0\quad;\quad\lambda_2=\alpha$$
Sonderfall \(\alpha=0\)
Für den Sonderfall \(\alpha=0\) hat die Matrix den Eigenwert \(\lambda=0\) mit der algebraischen Vielfachheit \(4\). Zur Bestimmung der Eigenvektoren \(\vec v\) lösen wir das Gleichungssystem$$A\cdot\vec v=\lambda\cdot\vec v=\vec 0$$mit Hilfe des Gauß-Verfahrens:$$\begin{array}{rrrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 &=&\text{Bemerkung}\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \checkmark\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \checkmark\\ 2 & 1 & 0 & 2 & 0 &-\frac12\cdot\text{Zeile 4}\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 &\\\hline2&0&0&2&0&\div2\\0&2&0&0&0&\div2\\\hline1&0&0&1&0&\Rightarrow\red{x_4=-x_1}\\0&1&0&0&0&\Rightarrow\green{x_2=0}\end{array}$$Damit können wir alle Lösungen angeben:$$\vec v=\begin{pmatrix}x_1\\\green{x_2}\\x_3\\\red{x_4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\\green{0}\\x_3\\\red{-x_1}\end{pmatrix}=x_1\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix}+x_3\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}$$Der Lösungsraum wird durch nur 2 Eigenvektoren aufgespannt, also hat der Eigenwert die geometrische Vielfachheit \(2\). Daher ist die Matrix für den Sonderfall \(\alpha=0\) nicht diagonalisierbar.
Allgemeiner Fall \(\alpha\ne0\)
Wir bestimmen zuerst die Eigenvektoren zum Eigenwert \(\lambda_1=0\)
Wir suchen dazu alle Lösungen der Gleichung: \(A\cdot\vec v=\lambda_1\cdot\vec v=\vec 0\)
$$\begin{array}{rrrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & = & \text{Operation}\\\hline 0 & -\alpha & 0 & 0 & 0 &+\text{Zeile 2}\\0 & \alpha & 0 & 0 & 0 &\div\alpha\\2 & 1 & \alpha & 2 & 0 &\\0 & 2 & 0 & 0 & 0 & \div2\\\hline0&0&0&0&0 &\checkmark\\0&1&0&0&0&-\text{Zeile 4}\\2&1&\alpha&2&0&-\text{Zeile 4}\\0&1&0&0&0&\\\hline0&0&0&0&0 &\checkmark\\0&0&0&0&0&\checkmark\\2&0&\alpha&2&0&\Rightarrow\red{x_1=-\frac\alpha2\,x_3-x_4}\\0&1&0&0&0&\Rightarrow\green{x_2=0}\end{array}$$
Damit können wir alle Lösungen des Gleichungssystems auflisten:$$\vec v=\begin{pmatrix}\red{x_1}\\\green{x_2}\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\red{-\frac\alpha2\,x_3-x_4}\\\green{0}\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\frac{x_3}{2}\begin{pmatrix}-\alpha\\0\\2\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}-1\\0\\0\\1\end{pmatrix}$$Der Lösungsraum wird durch zwei linear unabhängige Basisvektoren aufgespannt, die wir als Eigenvektoren wählen:$$\vec v_1=\begin{pmatrix}-\alpha\\0\\2\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_2=\begin{pmatrix}-1\\0\\0\\1\end{pmatrix}$$
Nun bestimmen wir die Eigenvektoren zum Eigenwert \(\lambda_2=\alpha\).
Wir suchen Lösungen der Gleichung: \(A\cdot\vec w=\lambda_2\cdot\vec w=\alpha\cdot\vec w\)
Das können wir auch schreiben als: \((A-\alpha\cdot\mathbf 1)\cdot\vec w=\vec 0\)
$$\begin{array}{rrrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & = & \text{Operation}\\\hline-\alpha & -\alpha & 0 & 0 & 0 &\div(-\alpha)\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\checkmark\\2 & 1 & 0 & 2 & 0 &\\0 & 2 & 0 & -\alpha & 0 &\\\hline1 & 1 & 0 & 0 & 0 &\\2 & 1 & 0 & 2 & 0 &-\text{Zeile 1}\\0 & 2 & 0 & -\alpha & 0 &\\\hline1 & 1 & 0 & 0 & 0 &-\text{Zeile 2}\\1 & 0 & 0 & 2 & 0 &\\0 & 2 & 0 & -\alpha & 0 &\\\hline0 & 1 & 0 & -2 & 0 &\\1 & 0 & 0 & 2 & 0 &\\0 & 2 & 0 & -\alpha & 0 &-2\cdot\text{Zeile 1}\\\hline0 & 1 & 0 & -2 & 0 &\Rightarrow\red{x_2=2x_4}\\1 & 0 & 0 & 2 & 0 &\Rightarrow\green{x_1=-2x_4}\\0 & 0 & 0 & 4-\alpha & 0 &\Rightarrow\blue{(4-\alpha)\cdot x_4=0}\end{array}$$
Für den Fall, dass \(\alpha\ne4\) ist, muss wegen der blauen Gleichung \(x_4=0\) sein. Dann muss aber wegen der roten Gleichung aber auch \(x_2=0\) sein und wegen der grünen Gleichung \(x_1=0\). Lediglich die Variable \(x_3\) ist dann frei wählbar, was uns auf einen 1-dimensionalen Lösungsraum führt:$$\vec w=\begin{pmatrix}0\\0\\x_3\\0\end{pmatrix}=x_3\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}\quad\text{für }\alpha\ne4$$Für \(\alpha\ne4\) ist die Matrix also nicht diagonalisierbar, da wir insgesamt nur 3 Eigenvektoren gerunden haben.
Für \(\alpha=4\) ist die blaue Gleichung jedoch für alle \(x_4\in\mathbb R\) erfüllt, sodass nur noch die rote und die grüne Forderung übrig bleiben. Das führt auf den Lösungsraum:$$\vec w=\begin{pmatrix}\green{x_1}\\\red{x_2}\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\green{-2x_4}\\\red{2x_4}\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_3\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}+x_4\cdot\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\1\end{pmatrix}\quad\text{für }\alpha=4$$
Das liefert die beiden Eigenvektoren:$$\vec w_1=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\vec w_2=\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\1\end{pmatrix}\quad\text{für }\alpha=4$$
Zusammen mit den beiden Eigenvektoren \(\vec v_1\) und \(\vec v_2\) zum Eigenwert \(\lambda_1=0\) haben wir für \(\alpha=4\) insgesamt 4 linear unabhängige Eigenvektoren gefunden.
Die Matrix ist also genau für den Fall \(\alpha=4\) diagonalisierbar.
