Gleichungssystem mit viel sin/cos lösen?

Question

Aufgabe:

I.   0 = b cos(α) + c cos(β) - d cos(γ) - f

II.  0 = b sin(α) + c sin(β) - d sin(γ) - g

Auflösen nach γ.

Problem/Ansatz:

Die Gleichungen sind Beschränkungen eines zweidimensionalen Mehrkörpersystems.

b; c; d; f; g sind bekannte Konstanten, α soll die ,,treibende", unabhängige Variable sein.

Ziel ist also eine einzige Funktion, die γ in Abhängigkeit von α darstellt.

Hat irgendjemand einen Lösungsansatz das einigermaßen elegant zu lösen ? Ich scheitere gerade immer an meinen trigonometrischen Rechenkünsten.

Answer 1

Stelle I nach \(d\cos y\) um und II nach \(d\sin y\). Dividiere dann die (umgestellte) zweite Gleichung durch die erste. Ergibt: \(\tan y=...\). Wende dann \(\arctan\) an.

Dabei können natürlich Probleme mit Nenner=0 auftauchen. Das musst Du in Deinem Setting noch klären, ob solche Sonderfälle auftreten.

Das Ergebnis ist übrigens unabhängig von \(d\).

Comments

Perfekt, tausend Dank dir !

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Hallo,

habe mich jetzt erst wieder an die Sache rangesetzt und mir ist aufgefallen, dass ich immer noch keine Lösung habe. In dem arctan ist ja immer noch β, also eine unbekannte. Ich bekomme den aber beim besten Willen nicht aus dem ganzen trigonometrischen gewurschtel raus.

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Die beiden Gleichungen nach csinβ bzw. ccosβ auflösen, dann die Gleichungen jeweils quadrieren und dann addieren. Nutze sin² + cos² = 1.

Du hast eine Gleichung nur noch mit der Unbekannten γ. Nutze Additionstheorem für

Asinγ + Bcosγ (A,B sind die Ausdrücke mit den bekannten Parametern, die sich ergeben,

Du bekommst cos(γ-δ), wobei δ von A und B abhängt, aber nicht mehr von β. Wende arccos an und Du hast γ.

Danach kannst Du β bestimmen.

Answer 2

(Du hast nicht vollständig definiert, welche Symbole Konstanten und welche variabel sind. Ich interpretiere die Aufgabe so, als seien alles außer \(\alpha\) und \(\gamma\) fest und du genau diese Abhängigkeit wissen möchtest. Ist \(\beta\) ebenfalls variabel, bin ich mir ziemlich sicher, dass \(\alpha\) und \(\gamma\) nicht direkt abhängig sind.)

Ich gehe davon aus, dass alle Konstanten und Parameter hier reell sind.

Addiere die Gleichungen \(\text{I}\) und \(i\cdot\text{II}\) aufeinander und nenne: \(z_\alpha = b\cdot(\cos(\alpha)+i\cdot\sin(\alpha)) \text{ }[=be^{i\alpha}]\), analog für \(z_\beta,z_\gamma\) und nenne \(z_k = f + i\cdot g\).

Die Gleichung lässt sich jetzt kurz schreiben als die komplexe Gleichung

$$z_\alpha + z_\beta - z_\gamma - z_k = 0,$$

was sich wiederum umformen lässt zu \(e^{i\gamma}=\frac{z_\alpha + z_\beta - z_k}{d}\).

Wir haben jetzt links und rechts zwei komplexe Zahlen stehen, die müssen gleichen Betrag und gleiches Argument haben. Die Zahl links ist einfach, die hat Betrag \(1\) und Argument \(\gamma\) (modulo \(2\pi\), das behalten wir stillschwiegend im Hinterkopf). Wir bekommen also durch Betrachtung der komplexen Zahl rechts zwei neue Gleichungen, die uns die Lösungen für \(\gamma\) und eine Bedingung an \(d\) geben:

\(\text{I: }d = \pm|z_\alpha + z_\beta - z_k|\text{, II: }\gamma = \mathrm{arg}(\pm(z_\alpha + z_\beta - z_k))+2\pi\cdot n\),

wobei die \(\pm\)-e daher stammen, dass eine Wahl von negativem \(d\) die komplexe Zahl rechts spiegelt. Wenn du \(d\) versteckt als nichtnegativ annimmst, kannst du die vergessen. Wenn dein \(d\) diese Gleichung nicht erfüllt, gibt es auch keine Lösung.

Für \(\gamma\) musst du jetzt also nur das Argument einer komplexen Zahl berechnen, hier kannst du die relevanten Formeln nachschlagen: https://en.wikipedia.org/wiki/Atan2#Definition_and_computation