0 Daumen
145 Aufrufe

Aufgabe:

Sei $$f: V \rightarrow V$$ ein Nilpotenter Endomorphismus eines K-VR V und sei $$n = dimV < \infin$$

a) Gilt $$f^k =0$$ und$$ f^{k-1} \neq 0 $$, so gibt es ein $$ v\in V$$ für das $$v, f(v), ..., f^{k-1}(v)$$ linear Unabhängig sind.

b) Zeigen Sie, dass f^n=0


Problem/Ansatz:

a) verstehe ich leider nicht ganz.

zu b)

Ich las versuchte etwas Skript zu lesen von meiner Professorin und unter einer Definition der Nilpotenz.
Unter der Definition stand folgendes :

$$ Entsprechend: V ein K-VR, f \in End(V) heißt Nipotent, falls f^i = f \circ ... \circ f  =0 $$ für ein i aus den Natürlichen Zahlen.

Das mit der Nilpotenz habe ich wohl verstanden, unter der Musterlösung findet sich genau diese Stelle aus dem Skript.

Die Eigenschaft, dass f^n=0 ist, folgt aus der nilpotenten Eigenschaft der Abbildung die nach der Definition nach wiederholten Anwenden der Abbildung auf ein Element = 0 ist. Damit hätte man b) "gelöst".

Vielleicht tue ich mich mit a) schwerer als gedacht, kann mir wer vielleicht sagen, was ich genau da zu zeigen habe ?
Vielleicht geht mir dann eine Idee auf oder verstehe mehr den Hintergrund der dafür benötigt wird.


Vielen Dank

Avatar vor von

Schreib bei a) die Bedingung auf, dass k Vektoren l.u. sind und wende dann darauf fk-1 an und danach fk-2 etc.

b) folgt dann aus a), aber ein bisschen mehr begründen als das, was Du geschrieben hast, muß man bei b) schon.

Zu LaTeX: Für Fließtext nutzt man besser Inline-Formeln. Die werden hier gesetzt mit \(FORMEL\). Abgesetzte Formeln, wie du sie hier verwendet hast, werden in $$FORMEL$$ gesetzt. Solche Formeln werden dann mit vertikalen Abständen vom Text abgesetzt. Das wird aber schwer lesbar, wenn man das mit jeder Formel macht, siehe dein Text dazu. Im Standard-LaTeX werden abgesetzte Formeln zusätzlich zentriert. Hier auf der Plattform passiert das nicht.

Außerdem sollte man darauf achten, dass man Text nicht im Mathemodus setzt, bzw. \text{ TEXT } verwendet. Die Leerzeichnen müssen dann auch gesetzt werden.

Inline:

In rechtwinkligen Dreiecken gilt \(a^2+b^2=c^2\), wobei \(a\) und \(b\) die Längen der Katheten sind und \(c\) die Länge der Hypetenuse ist.

Abgesetzt:

In rechtwinkligen Dreiecken gilt $$a^2+b^2=c^2,$$ wobei $$a$$ und $$b$$ die Längen der Katheten sind und $$c$$ die Länge der Hypotenuse ist.

Hallo user26605,

du bist mir schon unter einigen Beiträgen begegnet, danke dir für erneutes aufkommen.

Ich habe mir gestern schon mehrmals deinen Kommentar versucht durch zu lesen und zu verstehen was du von mir sagen möchtest. Weil ich so ein Kandidat bin der Beweis gar nicht mag, versuche ich mir jegliches möglichst gut zu verstehen. Intuitiv kommt da selten was sehr gutes bei rum oder was halt nicht genug ist. Wie du bei b) angemerkt hast.

Ich bin am Ende zur KI gegangen und habe etwas mit der KI Diskutiert, dabei habe ich deinen Kommentar und die Aufgabenstellung genommen als Grundlade und gebeten die Aufgabe mir nicht zu lösen.

Ich verstand daraufhin folgendes: Unter dem, dass ein \(v \in V\) ich zeigen soll, dass \(\alpha_0v,\alpha_1f(v),..., \alpha_{k-1}f^{k-1}=0\) ist.

Demnach soll ich einfach zeigen, dass die Alpha's \(\alpha_1+...+\alpha_{k-1} =0\) sind, dies erfolgt durch wiederholtes anwenden der gegebenen Information aus a)

\(f^k=0 \) und \( f^{k-1} \neq 0\) auf die obig geschriebene Gleichung.

Hierbei werde ich dem einmal nachgehen und es versuchen in Latex abzutippen:

Sei \(v \in V \) für das gilt \( v, f(v),...,f^{k-1}(v)\) unter dem Aspekt zu zeigen, dass diese linear unabhängig sind soll gezeigt werden, dass die Skalare Voreffizienten =0 sind.

\( \Longrightarrow\)  \(\alpha_0v_1+\alpha_1f(v)+...+\alpha_{k-1}f^{k-1}=0 \)

Darauf wird nun \( f^{k-1}\) angewendet

\( \Longrightarrow\) \(\alpha_0f^{k-1}(v_1)+\alpha_1f^{k-1+1}(v)+...+\alpha_{k-1}f^{2k-2}=0 \)

Da \(f^{k-1} \neq 0\) ist, gilt, dass \( \alpha_0 =0\) sein muss. Damit hätte ich gezeigt, dass der erste Skalare Voreffizient =0 ist.

Wendet man das verfahren erneut an, ( ich habe als zweiten mal direkt f^k anwenden wollen was mir als "zu stark" kommentiert worden ist und den Hinweis erhalten habe einfach die gleiche Operation durchzuführen) erhält man

\( \Longrightarrow \) \(\alpha_1f^{2k-1}(v)+...+\alpha_{k-1}f^{3k-3}=0 \)

ab hier wiederholt sich das Argument und man zeigt, dass \(\alpha_1 =0 \) ist.

Das letzte erklärt sich genau so. Damit wäre a) als Beweis erledigt.


Zu b)

Nach deinem Kommentar folgt b) aus a). Ich habe diesen Aufgabenteil noch nicht in eine KI gesetzt.

Ich hatte gesehen, dass in der Musterlösung man über die Dimension des V VR argumentiert, hierbei wurd gesagt, dass der Span \(<v, f(v),...,f^{k-1}>\) linear Unabhängig ist und damit die \( Dim U_v < Dim V \) ist und damit auch \(k < n \)


\( \Longrightarrow\) \(f^n = f^{n-k} \circ f^k = 0 \)


Ich sage so, irgendwo machts Sinn für mich, denke ich mal, a) definitiv auch mit der eigenschaft der Nilpotenz. Ich ahnte auch, dass die dim n kleiner unendlich hier eine wichtige Rolle spielte.
Ich kann nur nicht beurteilen ob es bei a) oder b) wichtig geworden ist. Mathe Aufgaben an der Uni sind halt darauf abgesehen Strukturen zu verstehen, ich bin stärker im Rechnen selbst als dieses Beweise schreiben.

Ich versuche hier nicht zu persönlich defensiv zu werden, hehe :'D aber ich werde froh sein einfac bestanden zu haben. Ist mir leider ein wenig zu abstrakt wes wegen ich nach Hilfe und Rat suche.

Achja und danke an Apfelmännchen für den Hinweis mit dem Latex schreiben. ;)

Vielen Dank. :)

Das ist genau die Idee bei a), die ich meinte.

bei b) argumentiert man, dass die maximale Anzahl von l.u. Vektoren in einem Vektorraum der Dim n nur n sein kann. Gemäß a) muß somit k≤n sein, und also folgt wegen fk=0: \( \Longrightarrow\) \(f^n = f^{n-k} \circ f^k = 0 \)

Das endlich-dimensionale spielt nur bei b) eine Rolle.

Zu b), ja das macht Sinn, es können nur eine Anzahl an l.u. Vektoren in einem n-dimensionalen VR existieren. Ich denke da an die Basis usw. damit denke ich kann ich mir den Hintergrund erklären.

Ich poste mal die Musterlösung zu beiden Teilaufgaben, dann kannst du auch für dich einsehen was mir gegeben ist.

Musterlösung 5.4.PNG

Was bedeutet denn das mü hinter "setze"?

Ich nehme mal an minimal polynom.

Dann hast Du jetzt 2 Beweise: Einen elementaren über die Definition der linearen Unabhängigkeit und einen raffinierten über das Minimalpolynom. Komfortabel.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community