Hallo user26605,
du bist mir schon unter einigen Beiträgen begegnet, danke dir für erneutes aufkommen.
Ich habe mir gestern schon mehrmals deinen Kommentar versucht durch zu lesen und zu verstehen was du von mir sagen möchtest. Weil ich so ein Kandidat bin der Beweis gar nicht mag, versuche ich mir jegliches möglichst gut zu verstehen. Intuitiv kommt da selten was sehr gutes bei rum oder was halt nicht genug ist. Wie du bei b) angemerkt hast.
Ich bin am Ende zur KI gegangen und habe etwas mit der KI Diskutiert, dabei habe ich deinen Kommentar und die Aufgabenstellung genommen als Grundlade und gebeten die Aufgabe mir nicht zu lösen.
Ich verstand daraufhin folgendes: Unter dem, dass ein \(v \in V\) ich zeigen soll, dass \(\alpha_0v,\alpha_1f(v),..., \alpha_{k-1}f^{k-1}=0\) ist.
Demnach soll ich einfach zeigen, dass die Alpha's \(\alpha_1+...+\alpha_{k-1} =0\) sind, dies erfolgt durch wiederholtes anwenden der gegebenen Information aus a)
\(f^k=0 \) und \( f^{k-1} \neq 0\) auf die obig geschriebene Gleichung.
Hierbei werde ich dem einmal nachgehen und es versuchen in Latex abzutippen:
Sei \(v \in V \) für das gilt \( v, f(v),...,f^{k-1}(v)\) unter dem Aspekt zu zeigen, dass diese linear unabhängig sind soll gezeigt werden, dass die Skalare Voreffizienten =0 sind.
\( \Longrightarrow\) \(\alpha_0v_1+\alpha_1f(v)+...+\alpha_{k-1}f^{k-1}=0 \)
Darauf wird nun \( f^{k-1}\) angewendet
\( \Longrightarrow\) \(\alpha_0f^{k-1}(v_1)+\alpha_1f^{k-1+1}(v)+...+\alpha_{k-1}f^{2k-2}=0 \)
Da \(f^{k-1} \neq 0\) ist, gilt, dass \( \alpha_0 =0\) sein muss. Damit hätte ich gezeigt, dass der erste Skalare Voreffizient =0 ist.
Wendet man das verfahren erneut an, ( ich habe als zweiten mal direkt f^k anwenden wollen was mir als "zu stark" kommentiert worden ist und den Hinweis erhalten habe einfach die gleiche Operation durchzuführen) erhält man
\( \Longrightarrow \) \(\alpha_1f^{2k-1}(v)+...+\alpha_{k-1}f^{3k-3}=0 \)
ab hier wiederholt sich das Argument und man zeigt, dass \(\alpha_1 =0 \) ist.
Das letzte erklärt sich genau so. Damit wäre a) als Beweis erledigt.
Zu b)
Nach deinem Kommentar folgt b) aus a). Ich habe diesen Aufgabenteil noch nicht in eine KI gesetzt.
Ich hatte gesehen, dass in der Musterlösung man über die Dimension des V VR argumentiert, hierbei wurd gesagt, dass der Span \(<v, f(v),...,f^{k-1}>\) linear Unabhängig ist und damit die \( Dim U_v < Dim V \) ist und damit auch \(k < n \)
\( \Longrightarrow\) \(f^n = f^{n-k} \circ f^k = 0 \)
Ich sage so, irgendwo machts Sinn für mich, denke ich mal, a) definitiv auch mit der eigenschaft der Nilpotenz. Ich ahnte auch, dass die dim n kleiner unendlich hier eine wichtige Rolle spielte.
Ich kann nur nicht beurteilen ob es bei a) oder b) wichtig geworden ist. Mathe Aufgaben an der Uni sind halt darauf abgesehen Strukturen zu verstehen, ich bin stärker im Rechnen selbst als dieses Beweise schreiben.
Ich versuche hier nicht zu persönlich defensiv zu werden, hehe :'D aber ich werde froh sein einfac bestanden zu haben. Ist mir leider ein wenig zu abstrakt wes wegen ich nach Hilfe und Rat suche.
Achja und danke an Apfelmännchen für den Hinweis mit dem Latex schreiben. ;)
Vielen Dank. :)