Ich denke ein wenig mit KI verstehe ich den Beweis oder den Kommentar von Arsinoe4 mehr.
Also festgehalten kann schon: Ich suche eine Matrix B die \(A=B^2\) erfüllt, hierbei lässt sich diese Gleichung umschreiben als \(\sqrt{A}=B\).
Hierzu nutzen wir die Ähnlichkeitseigenschaften aus und können A als Matrix umschreiben in die JNF : \(A= SJS^{-1}\)
Wir suchen nun quasi eine Matrix B sodass gilt: \(\sqrt{A} \Longrightarrow \sqrt{SJS^{-1}}\) im Umkehrschluss auch einfach: \((SJS^{-1})^2\)
Betrache ich den Kommentar von Arsinoe4 nochmal, so definiert er im ersten Satz die Jordanmatrix mit den Einträgen: \(J= \begin{pmatrix} \lambda & 0\\ 0 &\mu \end{pmatrix}\) Dann wird geschrieben falls ... ist, dann wähle ein \(x, y \in \mathbb{C}^{2 \times 2} \) mit \( x^2 = \lambda, y^2 =\mu \) und \(H=\begin{pmatrix} x & 0\\ 0 &y \end{pmatrix} \)
Dies sollte einen Fall abdecken um die gesuchte B Matrix zu finde, so verstehe ich das. Sonst erklärt sich das Falls ... ist für mich "wenig".
Ah, ja, genau, weiter in meinen Gedanken erkenne ich nun, dass wenn \(B=SHS^{-1}\) bzw existiert, dass wenn dann genau \(B^2\) wird. Wir folgende Schreibweise erhalten:
\( (SHS^{-1})^2 \Longrightarrow SH^2S^{-1} \) erhalten.
Schaut man sich nun \( H^2 =\begin{pmatrix} x & 0\\ 0 &y \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x & 0\\ 0 &y \end{pmatrix} \)
Was nichts anderes ist als \( \begin{pmatrix} x^2 & 0\\ 0 &y^2 \end{pmatrix} \)
Da man vorher \(x^2= \lambda, y^2=\mu\) gesetzt hatte. Gilt für \(B^2=SH^2S^{-1} = SJS^{-1}=A\)
Schaue ich mir den anderen Fall an:
\(J= \begin{pmatrix} \lambda & 1\\ 0 &\lambda \end{pmatrix} \), so wählt man ein \( x \in \mathbb{C}^{2 \times 2}\) mit \( x^2 = \lambda \) sodass \( H= \begin{pmatrix} x & \frac{1}{2x}\\ 0 &x \end{pmatrix} \) gilt.
Der Analogie von eben mit \(H^2= \begin{pmatrix} x^2 & [\frac{1}{2x}*x + \frac{1}{2x}*x]=1\\ 0 &x^2 \end{pmatrix}\) daraus folgt \( \begin{pmatrix} \lambda & 1\\ 0 &\lambda \end{pmatrix} = J
Was halt einfach wieder den letzten Satz von Arsinoe4 löst:
\( B^2 = SH^2S^{-1}= SJS^{-1}=A \)
Damit hätte man die Aufgabe fast gelöst, es muss nur noch der triviale Fall betrachtet werden mit
\(0= S[0]S^{-1}\)
\( B= \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 &0 \end{pmatrix}\) damit ist \(B^2= S [0]^2S^{-1}=S[0]S^{-1}=A\) bzw einfach A=0 als Fall.
Ich denke ich habe den Beweis nun verstanden und warum dieser so geführt wird.
Erstens man schaut sich die Gleichung an die man zeigen soll, dann existieren 2 Bedingugen. Folgend soll man B's als Matrizen finden die die Gleichung erfüllen. Hierzu benutzt man einfach die Eigenschaft der Ähnlichkeit der einzelnen Matrizen A und B und wendet deren Eigenschaft damit an.
Die JNF ist eine Ähnliche Matrix zu A zb. Deswegen werden hier JNF benutzt mit deren Eigenschaft: \(SJS^{-1}\)
Mein Gott, was eine Geburt. Ich schreibe das auf Papier ab, da ich jede Aufgabe halt auch auf Papier festhalte.
Vielen Dank euch allen. :)
