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Hi, ich versuche gerade zu dieser Matrix eine Basis zur JNF zu finden und bin so vorgegangen:

$$A=\begin{pmatrix} 1 & 0&0 & 1 \\0& 2&0 & 0\\-2 & 0&2 & 2\\-1 & 0&0 & 3\end{pmatrix}$$

Charakteristisches Polynom: $$(2-\lambda)^{4}$$

Haupträume bestimmen: $$H_{1}=ker(A-2E)=ker\begin{pmatrix} 1 & 0&0 & 1 \\0& 0&0 & 0\\-2 & 0&2 & 2\\-1 & 0&0 &1\end{pmatrix}$$

$$H_{1}=L( \begin{pmatrix} 1\\0 \\0 \\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1 \\0 \\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\0 \\1 \\0 \end{pmatrix})$$

Jetzt sieht man ja bereits, dass A nicht diagonalisierbar ist, da die Dimension des Eigenraums zu klein ist.

Deshalb habe ich jetzt noch einen höherdimensionalen Kern berechnet:

$$H_{2}=ker(A-2E)=ker(\begin{pmatrix} 1 & 0&0 & 1 \\0& 0&0 & 0\\-2 & 0&2 & 2\\-1 & 0&0 &1\end{pmatrix})^{2}$$

 $$H_{2}=L( \begin{pmatrix} 0\\1 \\0 \\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\0 \\0 \\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\0 \\1 \\0 \end{pmatrix})$$

Jetzt habe ich e4 zu dem ersten Hauptraum ergänzt, um eine Basis der JNF zu erhalten, also:

$$ B=L(\begin{pmatrix} 1\\0 \\0 \\1 \end{pmatrix},                                                                                                            \begin{pmatrix} 0\\1 \\0 \\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\0 \\1 \\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\0 \\0 \\1 \end{pmatrix})$$

Aber wenn ich A nun zu dieser Basis darstelle, erhalte ich zwar den einzigen Eigenwert 2 auf der Diagonalen, aber auch noch eine 1 ganz oben rechts, was ja nicht mehr der JNF entspricht...:/

Wisst ihr vielleicht was ich falsch gemacht habe?

MfG

Pizzaboss

von

Schon A-2E ist falsch.

Danke für die Antwort. Ich bin das ganze jetzt nochmal durchgegangen und bekomme jetzt mit dem richtigen Kern immer noch die gliechen Werte für H1 raus, aber füe
ker(A2)=0
also den ℝ4, woraus ich ja immer noch e4 ziehen könnte, aber dann bei der gleichen Basis wäre:/

Hat sich schon erledigt, ich hatte mit A anstatt mit ker(A-λE) multipliziert, trotzdem danke :D

2 Antworten

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Bei A-2E muss doch auf der Diagonalen in der 3. Zeile eine 0 hin

und oben links eine -1.

von 196 k 🚀

Oh man ja, du hast natürlich recht. Ich bin das ganze jetzt nochmal durchgegangen und bekomme jetzt mit dem richtigen Kern immer noch die gliechen Werte für H1 raus, aber füe $$ker(A^{2})=0$$ also den ℝ4, woraus ich ja immer noch e4 ziehen könnte, aber dann bei der gleichen Basis wäre:/

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Wenn DU die Kandidaten des (A-λ E)^2 anschaust

\(\small HVKandidaten1u \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right)\)

wobei e2,e3 im Kern (A-λ E) liegen, aber bereits als EV festliegen und schon mal festgehalten werden können. Aus e1 oder e4 kann dann (1,0,2,1) als Hauptvektor entwickelt werden.

===>

\(\small T \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&0&1&0\\2&0&0&1\\1&1&0&0\\\end{array}\right)\)

D:=T^(-1) A T

\(\small D \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}2&1&0&0\\0&2&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&2\\\end{array}\right)\)


---

Wenn Du GeoGebra kennst könnte das

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/cbrraju7

helfen?

von 10 k

Hi, danke für deine Hilfe. Ich habe mir auch den Text auf GeoGebra durchgelesen, aber verstehe nicht so ganz, wie du auf die (1,0,2,1) kommst. Wenn ich A mit e1 multipliziere, müsste doch (1,0,-2,-1) herauskommen oder?

Ab Zeile 21

findet man 5 Kadidaten für die HV Suche N=2

HVKandidaten1u\(:=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \)

und überprüft ob sie im Kern von (A-2 E)N-1 liegen

KernHV1:=(A-2 E)N-1 HVKandidaten1u
KernHV1 : \( =\left(\begin{array}{rrrr}-1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \)

e2 und e3 sind keine HV, weil sie im KernHV1 liegen. Sind aber "echte" EV (mit EW in der Diagonalen als Jordankästchen!)

Bleiben e1 und e4  ∉ KernHV1 als HV....

HV1u2:=(A - 2E) HVKandidaten1u
HV1u2 \( :=\left(\begin{array}{rrrr}-1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \)

... und die haben bis aufs Vorzeichen den gleichen HV Vorgänger (1,0,2,1)

In diesem Fall könnten wir gleich die Spalten aus KernHV1 abgreifen, weil N=2 und damit (A - 2E)^1 als Kern untersucht wird - Falls N>2 sind beide Schritte notwendig!

Die HV entwickelt man nicht mit A e1, sondern über (A-λE) e1 (oder e4)

===>

also können wir die "echten" EV mit e1 oder e4 + (1,0,2,1) zusammenbringen - mit einer 1 in der Nebendiagonale des Jordankästchens ("echte" HV).

Eine Kurzbeschreibung der HV Entwicklung steht in Zeile 15 und 18. Die Programmschritte sind doch auch im Textteil dokumentiert....

Vielen vielen Dank für die Mühe die du dir gemahct hast, dass hilft enorm!

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