Basis, charakteristisches und Minimalpolynom

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine Basis, bezüglich derer die folgende Matrix Jordansche Normalform hat, und geben Sie das charakteristische sowie das Minimalpolynom an:

\(\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 &1&0&-1\\1&0&2&0&-1\\1&0&1&2&-2\\1&0&1&0&0 \end{pmatrix}\)

Problem/Ansatz:

So, ich wüsste wie man das charakteristische Polynom bestimmt, es sei etwas rechenaufwendig mit Laplace aber das kann ich.

Desweiteren habe ich über folgende Seite: https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=ela1_8.10 verstanden, dass ich den Satz von Cayley Hamilton benutzen kann um Aussagen über das Minimalpolynom zu treffen.

Im Skript müsste ich genauer nachsehen, es geht in meinen Augen in eine identische Richtung.

Wenn ich das charakteristische Polynom habe, prüfe ich einfach wie oft ich welchen Linear Faktor miteinander Multiplizieren kann, sodass dies =0 ist. In dem Beispiel von der Website ist das charakteristische Polynom in 2 Faktoren zerlegt worden wobei einer der beiden Faktoren eine Potenz von 1 hat. Was den Vorgang etwas angenehmer macht.

In der Musterlösung ist das charakteristische Polynom von 2 Linearfaktoren abhängig und beide haben eine Potenz von mehr als 1. Somit würde mich der Vorgang einige Matrix Mulitplikationen von mir verlangen.

In der Musterlösung werden noch \(V(A,\lambda)\) geschrieben, wären das die Eigenvektoren ? Denn folgend werden auch \( H(A,\lambda)\) geschrieben das sieht für mich nach den Hauptvektoren aus.

Da ich zu dem eine Basis bestimmen muss, denke ich an eine vorherige Aufgabe die ich hier geteilt habe wo ich ebenfalls eine Basis bestimmen sollte. Wenn ich mich richtig errinere war das allerdings die Basis des Kerns, was hier nicht der Fall ist.

Ich denke mir, dass durch das bestimmen der Basisvektoren bzw die im Kern (?)  ich am Ende Aussagen über die Potenzen des minimal Polynoms treffen kann.

Und gibt es einen einfacheren Weg als vielleicht 2-4 Seiten DinA 4 zu rechnen ? :D

Comments

Nach etwas rumrechen und abgleichen von Rechnern online und KI, habe ich folgende Schwierigkeit.

Nach Musterlösung ist das char. Polynom \( (\lambda -1)^3 (\lambda-2)^2 \)

Ich habe nach Online rechner und KI das gleiche Polynom bekommen:
\( x^5 -7x^4 +19x^3 -25x^2 +16x -4 \) nach einem online Rechner, in dem ich nur die Matrix eingebe, sind die EW ebenfalls 1 und 2, 1 mit einer Vielfachheit von 3 und 2 mit einer Vielfachheit von 2.

So das sind nun Informationen die mir aus der Musterlösung vorliegen.

Nach dem ich mir das Polynom angesehen habe, habe ich überlegt die Polynomdivision durchzuführen. Vor dem rechnen, dachte ich an die Menge die ich zu rechnen habe..

und fragte mich ob es einen einfacheren Weg gibt. Nichts desto trotz probierte ich die Polynom division.

Man rät dazu die erste NST und ja, 1 passt.

Ich erhielt nach Division folgendes Polynom:

\( x^4-6x^3+13x^2-12x+4\) Dies sei eines Divisionsrechners auch korrekt.

Weiter habe ich dann wiederholt NST versucht zu raten, 1 funktionierte wieder.

Also ging ich wie gehabt vor nur zum Ende erhielt ich einen Rest statt eine ganze null.

Ich prüfte dies über den online Rechner und musste feststellen, dass wirklich ein Rest übrig bleibt.

Wie gehe ich nun weiter vor oder existert ein allgemein einfacherer bekannterer Weg ?

Ich fand heraus, dass Polynomdivisionen ab Grad 5 mühselig werden, so KI.

Würde ich nicht vor einem Rest stehen, hätte ich so erstmals weiter gemacht.

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Dann hast Du Dich verrechnet, Du hast ja bereits die Nullstellenzerlegung zur Kontrolle. Und wenn das x^4 Polynom 1 als Nullstelle hat, muß es ohne Rest teilbar sein…