Basis, charakteristisches und Minimalpolynom

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine Basis, bezüglich derer die folgende Matrix Jordansche Normalform hat, und geben Sie das charakteristische sowie das Minimalpolynom an:

\(\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 &1&0&-1\\1&0&2&0&-1\\1&0&1&2&-2\\1&0&1&0&0 \end{pmatrix}\)

Problem/Ansatz:

So, ich wüsste wie man das charakteristische Polynom bestimmt, es sei etwas rechenaufwendig mit Laplace aber das kann ich.

Desweiteren habe ich über folgende Seite: https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=ela1_8.10 verstanden, dass ich den Satz von Cayley Hamilton benutzen kann um Aussagen über das Minimalpolynom zu treffen.

Im Skript müsste ich genauer nachsehen, es geht in meinen Augen in eine identische Richtung.

Wenn ich das charakteristische Polynom habe, prüfe ich einfach wie oft ich welchen Linear Faktor miteinander Multiplizieren kann, sodass dies =0 ist. In dem Beispiel von der Website ist das charakteristische Polynom in 2 Faktoren zerlegt worden wobei einer der beiden Faktoren eine Potenz von 1 hat. Was den Vorgang etwas angenehmer macht.

In der Musterlösung ist das charakteristische Polynom von 2 Linearfaktoren abhängig und beide haben eine Potenz von mehr als 1. Somit würde mich der Vorgang einige Matrix Mulitplikationen von mir verlangen.

In der Musterlösung werden noch \(V(A,\lambda)\) geschrieben, wären das die Eigenvektoren ? Denn folgend werden auch \( H(A,\lambda)\) geschrieben das sieht für mich nach den Hauptvektoren aus.

Da ich zu dem eine Basis bestimmen muss, denke ich an eine vorherige Aufgabe die ich hier geteilt habe wo ich ebenfalls eine Basis bestimmen sollte. Wenn ich mich richtig errinere war das allerdings die Basis des Kerns, was hier nicht der Fall ist.

Ich denke mir, dass durch das bestimmen der Basisvektoren bzw die im Kern (?)  ich am Ende Aussagen über die Potenzen des minimal Polynoms treffen kann.

Und gibt es einen einfacheren Weg als vielleicht 2-4 Seiten DinA 4 zu rechnen ? :D

Comments

Nach etwas rumrechen und abgleichen von Rechnern online und KI, habe ich folgende Schwierigkeit.

Nach Musterlösung ist das char. Polynom \( (\lambda -1)^3 (\lambda-2)^2 \)

Ich habe nach Online rechner und KI das gleiche Polynom bekommen:
\( x^5 -7x^4 +19x^3 -25x^2 +16x -4 \) nach einem online Rechner, in dem ich nur die Matrix eingebe, sind die EW ebenfalls 1 und 2, 1 mit einer Vielfachheit von 3 und 2 mit einer Vielfachheit von 2.

So das sind nun Informationen die mir aus der Musterlösung vorliegen.

Nach dem ich mir das Polynom angesehen habe, habe ich überlegt die Polynomdivision durchzuführen. Vor dem rechnen, dachte ich an die Menge die ich zu rechnen habe..

und fragte mich ob es einen einfacheren Weg gibt. Nichts desto trotz probierte ich die Polynom division.

Man rät dazu die erste NST und ja, 1 passt.

Ich erhielt nach Division folgendes Polynom:

\( x^4-6x^3+13x^2-12x+4\) Dies sei eines Divisionsrechners auch korrekt.

Weiter habe ich dann wiederholt NST versucht zu raten, 1 funktionierte wieder.

Also ging ich wie gehabt vor nur zum Ende erhielt ich einen Rest statt eine ganze null.

Ich prüfte dies über den online Rechner und musste feststellen, dass wirklich ein Rest übrig bleibt.

Wie gehe ich nun weiter vor oder existert ein allgemein einfacherer bekannterer Weg ?

Ich fand heraus, dass Polynomdivisionen ab Grad 5 mühselig werden, so KI.

Würde ich nicht vor einem Rest stehen, hätte ich so erstmals weiter gemacht.

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Dann hast Du Dich verrechnet, Du hast ja bereits die Nullstellenzerlegung zur Kontrolle. Und wenn das x^4 Polynom 1 als Nullstelle hat, muß es ohne Rest teilbar sein…

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Okay, ja, muss wohl unkonzentriert oder nicht Achtsam genug gewesen sein, sodass ich da vielleicht einen Tippfehler eingebaut habe.

Am Handy habe ich das Polynom geprüft und es hat keinen Rest.

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Okay, ich hätte nun das minimal Polynom und die \(dim(ker(A-\lambda Id))\)

bestimmt, als charakteristisches Polynom erhalte ich: \( (\lambda -1)^3(\lambda -2)^2\)

als minimal Polynom erhalte ich: \( (\lambda-1)^2(\lambda-2)\)

Die Dimension bestimmt sich durch die Anzahl der Nullzeilen von \((A-\lambda Id)\) nach erreichen der Zeilstufenform.

Ich habe in der Lösung noch eine JNF(A) gegeben, aus einer anderen Aufgabe mit char. und minimal Polynom verstehe ich die JNF(A) wie folgt. Die algebraische Vielfachheiten eines Eigenwert liefern mir die Länge des Jordanblockes, hier in meinem Fall ist zb der EW 1 mit einer alg. Vielfachheit von 3 aus dem char. Polynom zu entnehmen, dementsprechend ist der längste Jordanblock in der Matrix 3 mit dem EW 1.

Im Skript steht dies so: \( J_3(1)\) folglich entnimmt man aus dem minimal Polynom die geometrische Vielfachheit, was kann ich genau darüber aussagen ? Ich denke, dass der Zusammenhang zwischen dem EW und den Nebeneinträgen der Diagonalen über das minimal Polynom existiert.

Ergo man findet über das Minimalpolynom heraus, dass die geometrische Vielfachheit 2 zum EW 1 ist. Demnach dürften nur zwei von den Diagonalen Einträgen mit der 1 einen nebeneintrag von 1 haben.

Hier die JNF(A) : \( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 &0 &0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&1\\0&0&0&0&1 \end{pmatrix}\)

Ich versuche mir den untersten Jordanblock zu erklären und sehe die Gemeinsamkeit im minimal Polynom, leider kann ich nicht sagen, warum dann zb bei dem EW 2 mit der geometrischen Vielfachheit von 1 keine 1 auf den Nebeneinträgen existiert.

Ich las über Chat einen vorher existieren Zusammenhang zwischen den Eigenvektoren und wenn die geom. Vf. nicht mit der alg. Vf. übereinstimmt, so kämen noch Hauptvektoren dazu, wie genau kann ich hier noch nicht wiedergeben.

Vg