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Aufgabe:

Bestimmen Sie eine Basis, bezüglich derer die folgende Matrix Jordansche Normalform hat, und geben Sie das charakteristische sowie das Minimalpolynom an:

\(\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 &1&0&-1\\1&0&2&0&-1\\1&0&1&2&-2\\1&0&1&0&0 \end{pmatrix}\)


Problem/Ansatz:

So, ich wüsste wie man das charakteristische Polynom bestimmt, es sei etwas rechenaufwendig mit Laplace aber das kann ich.

Desweiteren habe ich über folgende Seite: https://www.aleph1.info/?call=Puc&permalink=ela1_8.10 verstanden, dass ich den Satz von Cayley Hamilton benutzen kann um Aussagen über das Minimalpolynom zu treffen.

Im Skript müsste ich genauer nachsehen, es geht in meinen Augen in eine identische Richtung.

Wenn ich das charakteristische Polynom habe, prüfe ich einfach wie oft ich welchen Linear Faktor miteinander Multiplizieren kann, sodass dies =0 ist. In dem Beispiel von der Website ist das charakteristische Polynom in 2 Faktoren zerlegt worden wobei einer der beiden Faktoren eine Potenz von 1 hat. Was den Vorgang etwas angenehmer macht.

In der Musterlösung ist das charakteristische Polynom von 2 Linearfaktoren abhängig und beide haben eine Potenz von mehr als 1. Somit würde mich der Vorgang einige Matrix Mulitplikationen von mir verlangen.

In der Musterlösung werden noch \(V(A,\lambda)\) geschrieben, wären das die Eigenvektoren ? Denn folgend werden auch \( H(A,\lambda)\) geschrieben das sieht für mich nach den Hauptvektoren aus.

Da ich zu dem eine Basis bestimmen muss, denke ich an eine vorherige Aufgabe die ich hier geteilt habe wo ich ebenfalls eine Basis bestimmen sollte. Wenn ich mich richtig errinere war das allerdings die Basis des Kerns, was hier nicht der Fall ist.

Ich denke mir, dass durch das bestimmen der Basisvektoren bzw die im Kern (?)  ich am Ende Aussagen über die Potenzen des minimal Polynoms treffen kann.

Und gibt es einen einfacheren Weg als vielleicht 2-4 Seiten DinA 4 zu rechnen ? :D

Avatar vor von

Nach etwas rumrechen und abgleichen von Rechnern online und KI, habe ich folgende Schwierigkeit.

Nach Musterlösung ist das char. Polynom \( (\lambda -1)^3 (\lambda-2)^2 \)

Ich habe nach Online rechner und KI das gleiche Polynom bekommen:
\( x^5 -7x^4 +19x^3 -25x^2 +16x -4 \) nach einem online Rechner, in dem ich nur die Matrix eingebe, sind die EW ebenfalls 1 und 2, 1 mit einer Vielfachheit von 3 und 2 mit einer Vielfachheit von 2.

So das sind nun Informationen die mir aus der Musterlösung vorliegen.

Nach dem ich mir das Polynom angesehen habe, habe ich überlegt die Polynomdivision durchzuführen. Vor dem rechnen, dachte ich an die Menge die ich zu rechnen habe..

und fragte mich ob es einen einfacheren Weg gibt. Nichts desto trotz probierte ich die Polynom division.

Man rät dazu die erste NST und ja, 1 passt.

Ich erhielt nach Division folgendes Polynom:

\( x^4-6x^3+13x^2-12x+4\) Dies sei eines Divisionsrechners auch korrekt.

Weiter habe ich dann wiederholt NST versucht zu raten, 1 funktionierte wieder.

Also ging ich wie gehabt vor nur zum Ende erhielt ich einen Rest statt eine ganze null.

Ich prüfte dies über den online Rechner und musste feststellen, dass wirklich ein Rest übrig bleibt.

Wie gehe ich nun weiter vor oder existert ein allgemein einfacherer bekannterer Weg ?

Ich fand heraus, dass Polynomdivisionen ab Grad 5 mühselig werden, so KI.

Würde ich nicht vor einem Rest stehen, hätte ich so erstmals weiter gemacht.

Dann hast Du Dich verrechnet, Du hast ja bereits die Nullstellenzerlegung zur Kontrolle. Und wenn das x^4 Polynom 1 als Nullstelle hat, muß es ohne Rest teilbar sein…

Okay, ja, muss wohl unkonzentriert oder nicht Achtsam genug gewesen sein, sodass ich da vielleicht einen Tippfehler eingebaut habe.

Am Handy habe ich das Polynom geprüft und es hat keinen Rest.

Okay, ich hätte nun das minimal Polynom und die \(dim(ker(A-\lambda Id))\)

bestimmt, als charakteristisches Polynom erhalte ich: \( (\lambda -1)^3(\lambda -2)^2\)

als minimal Polynom erhalte ich: \( (\lambda-1)^2(\lambda-2)\)

Die Dimension bestimmt sich durch die Anzahl der Nullzeilen von \((A-\lambda Id)\) nach erreichen der Zeilstufenform.

Ich habe in der Lösung noch eine JNF(A) gegeben, aus einer anderen Aufgabe mit char. und minimal Polynom verstehe ich die JNF(A) wie folgt. Die algebraische Vielfachheiten eines Eigenwert liefern mir die Länge des Jordanblockes, hier in meinem Fall ist zb der EW 1 mit einer alg. Vielfachheit von 3 aus dem char. Polynom zu entnehmen, dementsprechend ist der längste Jordanblock in der Matrix 3 mit dem EW 1.

Im Skript steht dies so: \( J_3(1)\) folglich entnimmt man aus dem minimal Polynom die geometrische Vielfachheit, was kann ich genau darüber aussagen ? Ich denke, dass der Zusammenhang zwischen dem EW und den Nebeneinträgen der Diagonalen über das minimal Polynom existiert.

Ergo man findet über das Minimalpolynom heraus, dass die geometrische Vielfachheit 2 zum EW 1 ist. Demnach dürften nur zwei von den Diagonalen Einträgen mit der 1 einen nebeneintrag von 1 haben.


Hier die JNF(A) : \( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 &0 &0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&1\\0&0&0&0&1 \end{pmatrix}\)


Ich versuche mir den untersten Jordanblock zu erklären und sehe die Gemeinsamkeit im minimal Polynom, leider kann ich nicht sagen, warum dann zb bei dem EW 2 mit der geometrischen Vielfachheit von 1 keine 1 auf den Nebeneinträgen existiert.


Ich las über Chat einen vorher existieren Zusammenhang zwischen den Eigenvektoren und wenn die geom. Vf. nicht mit der alg. Vf. übereinstimmt, so kämen noch Hauptvektoren dazu, wie genau kann ich hier noch nicht wiedergeben.


Vg

Statt Polynomdivision kannst du auch das Horner-Schema nutzen. Geht einfacher und ist weniger fehleranfällig:

Polynom \(p(x)=x^5 -7x^4 +19x^3 -25x^2 +16x -4 \).

In die erste Zeile kommen die Koeffizienten des Polynoms. Ist eine Potenz nicht vorhanden, ist der Koeffizient 0. Dann wird immer von oben nach unten addiert und dieses Ergebnis mit der Nullstelle multipliziert. Ich habe das Schema für die erste Division mal aufgeschrieben.


1-719-2516-4
\(x=\red{1}\)
\(\green{1}\cdot \red{1}=\blue{1}\)-613124

\(\green{1}\)\(-7+\blue{1}=-6\)13-1240

Das Restpolynom \(q(x)=x^4-6x^3+13x^2-12x+4\) kann man dann aus der letzten Zeile ablesen. Das hilft auch bei der Auswertung von Polynomen, man kann damit also auch direkt die Nullstelle raten und am Ende muss 0 rauskommen (siehe fettgedruckter Wert). Vorteil: man hat dann auch direkt das Restpolynom.

Erstens das (Horner-Schema anstelle von PD) und zweitens braucht man auch das nicht, wenn man beim Rechnen die Augen aufhält:
Entwickeln nach der 4. Spalte zeigt sofort, dass das char. Pol. den Faktor \((2-\lambda)\) hat. Danach Entwickeln nach der 2. Spalte und beim Umformen Erinnern an bin. Formeln zeigt: auch der Faktor \((1-\lambda)\) ist enthalten. Dann Sarrussche Regel und nochmal bin. Formeln und das char. Polynom steht direkt faktorisiert da.

Nur wem die Aufgabe so zu einfach ist, der multipliziert alle Faktoren aus und fragt sich dann, was wohl für Faktoren drin stecken ;-).

Naja, in erster Linie werde ich warhscheinlich einfach in einer Aufgabe halt das charakteristische Polynom bestimmen, das minimal Polynom. Dazu die JNF, vielleicht noch eine Basis bestimmen über die Haupträume. Die Aufgaben bauen ja inhaltlich etwas auf.

Ob ich dabei die Polynomdivision benutze oder das Horner-Schema, was eingentlich ziemlich "einfach" wirkt, ist der Klausurstellering egal wie auch den Bewertenden.

Solange die Methode klappt ist Sie nicht unbrauchbar.


:) Vg

Solange eine Aufgabe keine bestimmte Vorgehensweise erfordert, ist der Weg zur Lösung prinzipiell immer egal. Klausuraufgaben werden aber häufig so konzipiert, dass ein bestimmter Weg (hier bspw. das direkte Erkennen der Linearfaktoren) einen Vorteil bietet, weil weniger fehleranfällig oder einfach eine Zeitersparnis. Eine PD, wobei du hier ja gleich mehrere machst, frisst unheimlich viel Zeit und ist zudem vergleichsweise fehleranfällig.

Was du hier lernen solltest: es ist nicht immer sinnvoll, Terme vollständig auszumultiplizieren, wenn man weiß, dass einem eine faktorisierte Form viel eher weiterhelfen kann.

Ich bin nicht sicher, ob Du meine Antwort verstanden hast (und darauf Deine Berechnung des char. Polynoms nochmal geprüft hast - das Aha-Erlebnis scheint jedenfalls ausgeblieben zu sein).

Du brauchst bei solchen Aufgaben normalerweise keine PD und auch kein Horner-Schema.

Ja, Deine Methode ist brauchbar, dauert aber erheblich länger und ist fehlerträchtig. Ob sich das in Klausuren z.B. anbietet?!

Ok, apfelmännchen hat parallel das gleiche, mit anderen Worten, gesagt.

Hallo,

Ja erkenne lässt sich das schon in der Matrix.

Ich hatte mir ja die 4te Spalte rausgesucht um nach dieser Laplace anzuwenden, da diese einen haufen von Nullen bietet.

Folgend bleibt halt eine Minoren Matrix (4x4) übrig mit 2 mal \((2-\lambda)\), einmal \( (1-\lambda)\) übrig und nur \(-\lambda\)

Du erwähnst weiter bin. Formeln. Ich erkenne dort keine, leider.

Da ich vielleicht eher einfach nach dem gehe was ich kenne. Würde ich eben halt wie oben beschrieben vorgehen.

Ich "sehe" halt da nicht unbedingt die einfachheit des char. Polynoms.

Oder einer von euch rechnet das halt einfach mal vor. Vielleicht erkenne ich dann darin eine Gemeinsamkeit.


Ansonsten geh ich halt stumpf den fehleranfälligeren Weg.


Vg

Wir können das ja, rechne Du mal vor:

Folgend bleibt halt eine Minoren Matrix (4x4) übrig mit 2 mal \((2-\lambda)\), einmal \( (1-\lambda)\) übrig und nur \(-\lambda\)

Wir haben also die Form \((2-\lambda)( (1-\lambda)(...)+ x)\). Wie lautet Dein \(x\), nach zusammenfassen?

Nach dem ich Laplace nach \(a_{44}\) die Gleichung aufstellen sieht sie wie folgt aus, ich werde auch nur die Diagonaleinträge hier aufschreiben. Die ganze Matrix ist ein wenig zu viel nun.

\((2-\lambda)(-1)^{4+4}det(M_{44})\)

Folgend hatte ich die zweite Spalte wieder betrachtet weil nur 2 von 4 Einträgen nicht Null sind.

Demnach ist ja \( (2-\lambda)((1-\lambda)*detM_{33} - detM_{33}\) also eigentlich ist ja nun der Was meinst du mit x genau in deinem Satz ? Ist mit x die Entwicklung von Laplace nach \(a_{12}\) gemeint ?

Ich kann dir nur nicht wegen der bin. Formel in deinem Satz folgen.

Du hast

\( (2-\lambda)((1-\lambda)*detM_{33} - detM_{33})\)

(Natürlich sind die beiden 3x3-Matrizen nicht dieselben. Außerdem hab ich Dir am Ende eine \()\) spendiert.)

Ich sprach von:
\((2-\lambda)( (1-\lambda)(...)+ x)\)

Nun vergleiche und nenne uns Dein \(x\).

Laplace.PNG


Natürlich sind die Matrizen nicht dieselben. Okay ich denke mir einfach, dass wohl die Entwicklung nach beiden Einträgen in der 2ten Spalte der 4x4 Matrix dem (...) entsprechen.
Was ist dann bitte x ? Entweder ich gehe weiter mit Laplace halt vor oder ich verstehe echt nicht worauf du gerade hinaus möchtest und worauf ich dein x finden soll.
Hier hast du einen Screenshot von der Rechnung vor dem ich Laplace auf 2x2 runtergebrochen habe.

Kannst Du die Struktur der Terme nicht erkennen?

\( (2-\lambda)((1-\lambda)*\underbrace{detM_{33}}_{(...)} - \underbrace{detM_{33}}_{x})\)

Beim Entwickeln nach der 2. Spalte gibt es einmal eine 3x3-Det mit Faktor 1 und eine mit Faktor \((1-\lambda)\). Das \(x\) ist ersteres (Vorzeichen beiseite gelassen).

Selbst wenn ich den Kommentar von Apfelmännchen mir durchlese und auch demnach in der Minoren Matrix die beiden Linearfaktoren erkenne.

Wie finde ich deren algebraische und geometrische Vielfachheit heraus ?


Ja doch, tue ich. Ist nicht böse gemeint aber ich fragte doch dannach ? Ob x die Entwicklung nach \(a_{12}\) ist.

Die algebraische Vielfachheit über die Vielfachheit im char. Polynom und die geometrische Vielfachheit über die Dimension des zugehörigen Eigenraumes des Eigenwerts.

Dann sind wir uns ja nun einig, was das \(x\) ist. Also?

71..PNG


Also kann ich aus dem einzelnen linearen Faktor eine dimension des Eigenraumes vom Eigenwert bestimmen ?

Wie geht das ? Also ich habe nun Heraus gefunden, dass das char. Polynom von den beiden linearen Faktoren \( (2-\lambda)^k(1-\lambda)^t \)  bestimmt wird.

Also lässt sich dann zu einem der EW einfach die Basis des Eigenraumes finden und die Menge an Vektoren, die das LGS dann lösen entsprechen der geometrische Vielfachheit.

Sollte die geometrische Vielfachheit nicht gleich der algebraischen Vielfachheit entsprechen so muss man noch Hauptvektoren dazu finden, die die Basis (ergänzen?)


Ja okay, sicher, dass dieser Weg so viel "einfacher" ist. Wenn ich den nun korrekt verstanden habe, erklärt sich mir auch in der Musterlösung die Vektoren und die Zeile mit dem H.

Also bei der Faktorisierung, die Sache mit dem \(x\), hast Du aufgegeben?!

Erst danach käme die Frage der Vielfachheiten. Ich bleibe bei meiner Hilfe in der logischen Reihenfolge (char. Polynom -> EW -> alg. Vielfachheiten -> ER bestimmen). Meld Dich, wenn Dich das doch noch interessiert.

Nö, bin vom Schreibtisch weg.

Das x ist die Laplace Entwicklung nach dem Eintrag \((a_{12})\)


Okay selbst wenn ich dann das x kenne, ich sehe halt leider nicht ganz die alg. Vielfachheiten.

Da ich die Musterlösung hatte und lesen konnte nach Laplace ...

Habe ich einfach Laplace angewendet.

Dann, char. Polynom.

Polynomdivision, damit hatte ich die lineare Faktorisierung. Dann minimal Polynom durch die dim(ker(A-L Id)) bestimmt. Und zuletzt die JNF

Hier scheint es ja einen noch besseren Weg zu geben.

Die alg. VF fallen Dir in den Schoß, wenn Du bei der Linie bleiben würdest und nicht zwischen Aufgabenteilen und Lesen in der Musterlösung springen würdest.

Nudger, ich hab erst das char. Polynom bestimmt weil ich dies mit der Musterlösung abgleichen konnte.

Dann hab ich mich mit dem Minimalpolynom befasst.

Daraufhin die JNF versucht zu verstehen.

Dass ich zusätzlich noch eine Basis zu bestimmen habe, habe ich gewusst aber nie verstanden.

Mehr nicht, mir erscheint der Weg immer noch solider, weil dieser sicher scheint aber anfliger für Rechenfehler.


Als das ich versuche ein Binom zu erkennen, was ich halt nicht erkenne. Hast du nicht vorher gemerkt, dass ich mich wohl schwer mit einigem tue und genau deswegen das Forum nutze ?

Ich glaube, hier geht einiges durcheinander... Es geht hier erst einmal NUR um die Berechnung des char. Polynoms, da durch die nicht notwendige und mehrfache Anwendung der PD viel Zeit in einer Klausur verloren geht. Du kannst das natürlich so machen, aber dann wirst du in der Klausur möglicherweise Zeitprobleme bekommen.

Es geht darum, das char. Polynom direkt bei der Berechnung zu faktorisieren (ohne PD) durch gezieltes Ausklammern von Linearfaktoren. Wenn man das gemacht hat, kann man ja die algebraischen Vielfachheiten direkt ablesen.

Nur darum ging es jetzt in den letzten Kommentaren. Das Minimalpolynom und die JNF kommen erst im Anschluss.

Es geht immer noch um das \(x\). Solange Du das nicht mitteilst, kann Dir auch keiner sagen, ob da ein Binom ist oder ein Rechenfehler oder sonstwas. Warum Du das nicht mitteilst, weiß ich nicht. Also hängt's da halt, seit 2 Std.

So, hab ich jetzt oft genug gesagt. Jetzt hör ich auch auf.

So, nach einer Nacht schlafen ist mir der Gedanke durch den Kopf gegangen, dass @nudger einfach nur von mir wollte, dass ich das von ihm benannte \(x\) weiter nach Laplace entwickle.

Ich hab in 2-3 Minuten dann das char. Polynom "gefunden"

Ich meine es existiert dennoch eine Frage, nach dem gesuchten x, wird in der Laplace Entwicklung der 4x4 Matrix ein Minuszeichen existieren. Demnach drehen sich doch die EW einmal um.

unter röm. 2 habe ich das - Zeichen mitgenommen.


Ich finde, man hätte es auch etwas einfacher kommunizieren können wie: Entwickel doch einfach intuitiv weiter.

VgAntwort zu Nudger.PNG

Okay das Minuszeichen ist dabei egal

einfach nur von mir wollte, dass ich das von ihm benannte \(x\) weiter nach Laplace entwickle.

Nein, wollte ich nicht. Nur notieren hätte erstmal gereicht. Tut mir leid, einfacher als "wie lautet das \(x\)?" kann ich das nicht formulieren.

man hätte es auch etwas einfacher kommunizieren können wie: Entwickel doch einfach intuitiv weiter.

Du hast ja gesagt, Du weißt nicht, was \(x\) ist, dann erübrigt sich ja ein Hinweis zur Weiterverarbeitung.

Außerdem sagte ich

"Wie lautet Dein \(x\), nach zusammenfassen?"

womit ich eine(!) Weiterverarbeitung angeregt habe. "Entwickel weiter" würde ich eh nicht sagen (und "intuitiv" schon gar nicht, weil das für jeden was anderen bedeutet), weil ich es nicht so machen würde. Der Weg ist Dir freigestellt, ich hatte ja oben schon die Sarrus'sche Regel erwähnt (die ich benutze).

Es passiert leider ab und zu im Forum, dass auf wiederholt gegebene Hinweise (was ist das \(x\)) nicht eingegangen wird, und dann zieht sich der Dialog hier eben unnötig lange hin.

Dann hoffe ich mal, dass der Groschen endlich gefallen ist und du verstanden hast, dass man hier ganz wunderbar ohne PD auskommt. :)

Du kannst davon ausgehen, dass du in der Klausur sicherlich nicht dreimal eine PD machen musst.

Übrigens fehlt ganz unten bei der geschweiften Klammer das "hoch 2". Ist ja die binomische Formel. ;)

Mhmhm

Ja, die bin. Formel kommt in einem Quadrat aus röm. 1 vor.

Ich habe jetzt beim tippen und noch mal draufsehen kurz nachgedacht.

Im Schritt von der 4x4 Minoren Matrix entwickle ich nach 2 Einträge.

Es liefern mir beide Einträge am Ende lineare Faktoren.

Aus röm. 1 lässt sich schon da der EW mit einer alg Vielfachheit von 3 feststellen, oder ?

Denn ich habe als Vorfaktor die (2-L) aus dem ersten Laplace vorgang.

Dann erhalte einmal dazu ein röm 1. mit(1-L)*det(3x3)

Die det (3x3) liefert mir das Binom.

Womit ich am Ende bei der alg. Vielfachheit von 3 für der EW 1 lande.

Ich habe aber noch röm. 2 als Subtraktion zu beachten.

Ich entschied mich für den Eintrag a_{22}

Dann habe ich ja als ganze Kette\(2-\lambda)(-1)(2-\lambda)*det(2x2)\)

Die Det der 2x2 Matrix liefert mir aber zusätzlich noch ein \(1-\lambda\) in der Reihe oder ?

Aus dem Pfad nach röm. 1 erhalte ich ansonsten keine alg. Vielfachheit von 2 für der EW 2 oder ich beachte etwas nicht.

Innerlich habe ich schon zu einem Teil abgeschlossen mit der Aufgabe und mich wenig mit der weiter beschäftigt nach heute Morgen.

Ich habe mir deine Rechnung jetzt nicht im Detail angeschaut, da es ja im Wesentlichen nur darum ging, dass du erkennst, dass man bei solchen Aufgaben sehr häufig ohne PD auskommt, da sich die Linearfaktoren bereits bei der Berechnung der Determinante ergeben und es daher nicht sinnvoll ist, die Determinante direkt auszumultiplizieren. Wenn du also einen Linearfaktor gefunden hast, lass ihn so stehen und rechne einfach wie gewohnt weiter.

Aus röm. 1 lässt sich schon da der EW mit einer alg Vielfachheit von 3 feststellen, oder ?

Darüber macht man sich während der Rechnung gar keine Gedanken, da man die algebr. Vielfachheiten ohnehin zum Schluss abliest, wenn man das char. Polynom hat, sofern es vollständig in Linearfaktoren zerfällt.

Und wenn man die binomische Formel nicht erkennt:

Dass \(\lambda^2-2\lambda+1=(\lambda -1)^2\) gilt (2. bin. Formel) sieht nicht jeder sofort. Vorteilhaft, wenn man das erkennt, aber nicht schlimm, wenn nicht (kommt mit der Zeit, wenn man bemerkt, dass sowas immer mal wieder vorkommt). Man kann hier im Zweifel die übrigen Nullstellen auch mit der pq-Formel ermitteln. Selbst das geht schneller als mehrfache PD.

Wenn du die Aufgabe für dich jetzt also "ausreichend gelöst" hast, ist das vollkommen in Ordnung. Du sollst aus der Diskussion lediglich mitnehmen, dass die straight-forward-Methode über die PD nicht der Königsweg und für Klausuren eher ungeeignet ist, da zeitintensiv und fehleranfällig. Schaue einfach bei weiteren Aufgaben mal danach, ob es ähnliche Abkürzungen gibt oder frag hier auf der Plattform nochmal nach. Es ist dennoch immer auch eine gute Übung, die Aufgaben so zu lösen, wie man es für richtig hält. Die ganzen Feinheiten, Abkürzungen und Tricks kommen dann mit der Zeit oder bei der Besprechung der Aufgaben oder - wie hier - im Austausch mit anderen. Nimm diese Tipps einfach für dich mit. :)

Easy oftmals reicht es mir aus 1-2 mal einen Vorgang wie diesen zu sehen.

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