Beweis der kürzesten Strecke mit der Dreiecksungleichung

Question

Aufgabe:

Hallo. Ich hätt folgendes Problem. Folgende Aussage soll ich mit der Dreiecksungleichung beweisen.

Gegeben sei eine Gerade g und ein Punkt P außerhalb. Zeigen Sie: Von allen Strecken PQ mit Q element aus g ist diejenige die kürzeste, welche auf g senkrecht steht.

Problem/Ansatz:

Kann mir hierbei jemand helfen?

Besten Dank und Lg

Comments

Das hat nichts mit einem Dreieck zu tun, außerhalb dessen ein Punkt P liegt.

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Angenommen ich Ziehe eine Lotrechte Strecke meines Punktes P auf die Gerade g und nenne diesen Schnittpunkt Q.

Außerdem nehme ich noch einen Punkt R der auf der Geraden g liegt und nicht Q ist dann habe ich ein Rechtwinkliges Dreieck mit den Punkten P, Q und R.

Und irgendwie müsste ich jetzt beweisen das die Strecke PQ immer kleiner ist als PR.

Glaube schon das das möglich ist. Nur weiß ich nicht ganz wie.

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Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit P, dem Lotfußpunkt Q und einem beliebigen Punkt R. Die Dreiecksungleichung sagt, dass die Hypotenuse länger ist als jede der Katheten (folgt auch aus Pythagoras).

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könntest du mir das formal aufschreiben.?

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PR² = PQ² + QR²    (Pythagoras)
also PR² ≥ PQ²
als PR ≥ PQ

dabei sei PR etc. die Länge der Strecke von P nach R.

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Und hier noch eine Alternative. Zeichne den Spiegelpunkt P’ von P bzgl. g. Dann ist wegen der Dreicksungleichung im Dreieck PP’R: 2a ≥ 2h und somit folgt auch die Behauptung.

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wäre es auch möglich das ohne pythagoras zu beweisen? Angabe steht ja "Beweise mithilfe der Dreiecksungleichung"

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super. die zweite Methode gefällt mir. Danke =)