Aufgabe:
Der Weihnachtsmann macht sich an Heiligabend mit Schlitten und Sack auf den Weg, um jedem Kind sein Geschenk zu bringen. Dabei ist jedem Kind genau ein Geschenk aus seinem Sack zugeordnet und die Geschenke sind paarweise verschieden. Der Weihnachtsmann beschenkt die Kinder nach einer vorher festgelegten Reihenfolge, welche auf einer Liste vermerkt ist.
Das erste Kind auf dieser Liste ist Ellie aus Australien. Als er gerade im Wohnzimmer von Ellies Familie vor dem Weihnachtsbaum steht, merkt er, dass er seine Liste draußen im Schlitten vergessen hat und somit nicht weiß, welches Geschenk für Ellie ist. Da die Reise des Weihnachtsmanns auf die Sekunde durchgeplant ist, hat er leider keine Zeit, die Liste zu holen. Somit greift er zufällig irgendein Geschenk aus seinem Sack und legt dieses unter den Weihnachtsbaum der Familie.
Da er künftig nicht selbst entscheiden möchte, welches Kind eventuell nicht das passende Geschenk erhält, überlegt er sich das folgende vom Zufall abhängige Verfahren.
Falls das Geschenk des besuchten Kindes noch im Sack ist, erhält dieses sein Geschenk.
Falls das Geschenk des besuchten Kindes nicht mehr im Sack ist, greift der Weihnachtsmann zufällig irgendein Geschenk, welches noch im Sack ist.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält der kleine Boris, das letzte Kind auf der Liste,
sein Geschenk?
Hinweis: Sie dürfen davon ausgehen, dass es 2,4 Milliarden Kinder auf der Welt gibt.
Problem/Ansatz:
Ich habe verschiedene Ansätze und kann gerade überhaupt nicht zuordnen, ob ich auf dem richtigen Weg bin, da es mir irgendwie zu naiv vorkommt.
Also Idee: Der Weihnachtsmann zieht zufällig beim ersten Kind ein Geschenk. Danach verläuft der Prozess deterministisch (wenn das Kind seine richtige Geschenknummer noch hat, bekommt es dieses), ansonsten wird ein zufälliger weiterer Ersatz gezogen. -> Der Prozess endet genau dann, wenn erstmals entweder Ellies oder Boris’ Geschenk gezogen wird. Passiert es früher mit Ellies Geschenk, läuft danach alles glatt und Boris bekommt sein eigenes. Passiert es früher mit Boris’ Geschenk, bekommt Boris das falsche Geschenk. Da in dem entscheidenden Zufallsschritt diese beiden Geschenke symmetrisch sind, ist die Chance 50/50.
Sei Pn die gesuchte Wahrscheinlichkeit bei n Kindern. Der Weihnachtsmann greift zuerst zufällig:
- Mit Wkt. 1/n nimmt er Ellies Geschenk → alle bekommen richtig inkl. Boris → W'keit: 1/n.
- Mit Wkt. 1/n nimmt er Boris’ Geschenk → Boris Geschenk ist weg
- Mit Wkt. (n−2)/n nimmt er das Geschenk eines „Mittleren“. Dann reduziert sich das Problem auf dieselbe Struktur mit weniger Kindern, also Pn′=Pn−1.
=> Pn=(1/n⋅1)+(n−2/n)⋅P(n−1) für alle n >=2.
Also: Boris hat genau 50% Chance, sein Geschenk zu bekommen
