Aloha :)
Die Oberfläche \(F\) des Körpers beträgt:$$F(r;h)=\underbrace{2\pi rh}_{\text{Mantel}}+\overbrace{\underbrace{\pi r^2}_{\text{Boden}}}^{\text{Kreis}}+\overbrace{\underbrace{2\pi r^2}_{\text{Deckel}}}^{\text{Halbkugel}}=2\pi rh+3\pi r^2$$
Nach Voraussetzung soll diese Fläche gleich \(4\,\mathrm m^2\) groß sein:$$F\stackrel!=4\implies2\pi rh+3\pi r^2=4\implies\pink{\pi rh=2-\frac32\pi r^2}$$
Die Maße \(r\) und \(h\) des Körpers sollen sein Volumen \(V\) maximieren:$$V(r;h)=\underbrace{\pi r^2h}_{\text{Zylinder}}+\underbrace{\frac23\pi r^3}_{\text{Halbkugel}}\to\text{Max}$$
Wir setzen in die Formel für das Volumen die pinke Bedingung ein, um die Unbekannte \(h\) aus der Formel zu entfernen:$$V=\pink{\pi r h}\cdot r+\frac23\pi r^3=\left(\pink{2-\frac32\pi r^2}\right)\cdot r+\frac23\pi r^3=2r-\frac56\pi r^3\eqqcolon V(r)$$
Extremwerte einer Funktion können nur dort sein, wo die Ableitung verschwindet:$$0\stackrel!=V'(r)=2-\frac52\pi r^2\implies\frac52\pi r^2=2\implies r=\sqrt{\frac{4}{5\pi}}$$
Der Wert für \(h\) folgt durch Einsetzen dieses Ergebnisses in die pinke Bedingung:$$\pi r h=2-\frac32\pi\left(\sqrt{\frac{4}{5\pi}}\right)^2=\frac45\implies h=\frac45\cdot\frac{1}{\pi r}=\frac45\cdot\frac{1}{\sqrt{\frac{4\pi}{5}}}=\sqrt{\frac{4}{5\pi}}$$
Die Maße \(h\) und \(r\) des gesuchten Körpers sind also gleich groß:$$r=h=\sqrt{\frac{4}{5\pi}}\approx0,5046$$
