Welche Bedingung müssen die Seiten a, b, c eines Dreiecks erfüllen?

Question

Inspiriert durch eine Aufgabe von Paul Eigenmann:

Welche Bedingung müssen die Seiten a ≤ b ≤ c eines Dreiecks erfüllen, damit das Dreieck aus den drei Seitenhalbierenden rechtwinklig ist.

Comments

für Leute wie mich gibt es hier einige Unklarheiten. Die Seitenhalbierenden bilden kein Dreieck sondern schneiden sich in einem Punkt. Bei einem gleichseitigen Dreieck ist die Bedingung a ≤ b ≤ c erfüllt und es entstehen sechs rechtwinklige Dreiecke, das passt aber nicht zur Fragestellung. Was verstehe ich hier nicht?

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Das hatte ich mich auch gefragt.

Ich nehme an, es ist nicht das MIttendreieck (rot) gemeint, sondern das Mediandreieck (blau).

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Bei einem gleichseitigen Dreieck wären alle Seitenhalbierenden gleich lang und bilden dann auch ein gleichseitiges Dreieck. Natürlich nicht so angeordnet, dass sie sich schneiden.

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etwa so? Die Punkte des eingezeichneten Dreiecks liegen auf der Mitte der Seiten. Seitenhalbierende sind aber etwas anderes.

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Ok, also man muss prüfen, ob

$$s_a^2 + s_b^2 = s_c^2$$

gilt?

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Ich weiß, dass die Aufgaben von Paul Eigenmann durchaus etwas kniffelig sind. Wenn er aber Seitenhalbierende schreibt, dann denke ich, dass eben auch diese gemeint sind.

Du nimmst also einfach die Strecken der Seitenhalbierenden und bildest aus diesen Strecken ein neues Dreieck.

In der Originalaufgabe waren die Seitenlängen a, b und c gegeben und man sollte lediglich prüfen, ob das Dreieck aus den drei Seitenhalbierenden rechtwinklig ist.

In der gestellten Aufgabe war das der Fall. Ich habe also lediglich eine verallgemeinerte Aufgabe daraus gemacht.

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Ok, also man muss prüfen, ob
$$s_a^2 + s_b^2 = s_c^2$$
gilt?

Genau, wenn s_c die Hypotenuse wäre.

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Kann man denn aus \(a\le b\le c\) schließen, dass auch \(s_a\le s_c\) und \(s_b\le s_c\) gilt?

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Das wäre dann wohl auch rechtwinklig.

Ist es aber nicht.

Mit lieben Gruß an Moliets. Zeichnungen sind eben keine Beweise!

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Hier die Lösung von Gemini

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86.8201698801358°

Tüchtig, diese Genauigkeit.

Bei einer Winkeldistanz von 10^-13 Grad von der Erde aus komme ich auf eine Strecke auf dem Mond von etwa 1 Tausendstel Millimeter.

Answer 1

Zwei Seitenhalbierende in einem Dreieck schneiden sich senkrecht, wenn die Seiten die Gleichung

\(a^2+b^2=5c^2\)

erfüllen.

Der Nachweis erfolgt über die Beziehung \(s_a^2+s_b^2=s_c^2\) (in diesem Fall stehen \(s_a\) und \(s_b\) senkrecht zueinander) unter Verwendung der Längenformel

\(s_a=\frac{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}{2}\)

für die Seitenhalbierende.

Alternativ:

Stehen \(s_a\) und \(s_b\) senkrecht zueinander, so ist das Dreieck \(ABS\) rechtwinklig, wobei \(S\) der Schwerpunkt ist, in dem sich alle Seitenhalbierenden schneiden. Da die Seitenhalbierenden dort im Verhältnis 1:2 geschnitten werden, folgt mit dem Satz des Thales, dass \(\frac{1}{3}s_c=\frac{1}{2}c\) bzw. \(s_c=\frac{3}{2}c\) gilt. Mit der Längenformel von oben eingesetzt ergibt das

\(2(a^2+b^2)-c^2=9c^2\),

was ebenfalls auf die Beziehung \(a^2+b^2=5c^2\) führt.

Comments

Dein zweiter Beweis argumentiert über den rechten Winkel zwischen sa und sb im ursprünglichen Dreieck, nicht im Mediandreieck und zeigt dann, dass  sa ⊥ sb  ⇒  a^2+b^2 = 5c^2 .
Gefragt war aber nach einem Beweis für ⇐ .

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Man sollte sich zunächst überhaupt klar werden, welches im Dreieck mit den Seiten sa, sb und sc überhaupt die längste Seite ist.

Im Dreieck mit den Seitenlängen a ≤ b ≤ c kann a^2 + b^2 = 5·c^2 offensichtlich nie erfüllt sein.

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Die anfängliche Verwirrung hätte man vermeiden können, wenn man die Begriffe richtig verwendet hätte. "das Dreieck aus den drei Seitenhalbierenden" gibt es eben gar nicht, und es geht auch gar nicht um die Seitenhalbierenden, sondern um deren Länge.

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döschwo hat doch recht gut erkannt um was es geht.

Es war nicht meine Wortwahl, sondern die Wortwahl von Paul Eigenmann. Und vielleicht heißen die Aufgaben auch deswegen "Geometrische Denkaufgaben", weil verlangt wird, dass man ein wenig nachdenkt.

PS: Übrigens haben die von mir benutzten KI's die Aufgabe richtig verstanden und auch richtig beantwort.

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Dann lies doch oben nochmal nach. Ich hatte auch nicht erwartet, dass Du nun Deine Formulierung hinterfragst, ist eben Dein Stil: Eigenmann ist's schuld, und die anderen sind zu faul zum Nachdenken.

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mir war schon klar, dass ich hier etwas missverstehe. Es war ein Dreiecke mit den Längen der drei Seitenhalbierenden gemeint. Um die Lösung geht es mir hier nicht, sondern um die Art der Fragestellung – und die bleibt für mich uneindeutig. Für mathematische Herausforderungen sollte die Ausgangslage m.E. eindeutig sein und die wird häufig immer undeutlicher. Ich mag da Klarheit; ich mag Menschen, die in der Flugsicherung arbeiten, die sagen genau was Sache ist, sonst geht das schief.

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Dein zweiter Beweis argumentiert über den rechten Winkel zwischen sa und sb im ursprünglichen Dreieck, nicht im Mediandreieck

Das ist doch unerheblich, da dieser Winkel durch Parallelverschiebung ebenso im Mediandreieck sein muss.

Gefragt war aber nach einem Beweis für ⇐

Gefragt war nach einer Bedingung; die habe ich angegeben, wenn auch unter fehlender Berücksichtigung der Sortierung der Seitenlängen. Aber ich traue euch zu, dass ihr \(a\) und \(c\) vertauschen könnt.

Im Dreieck mit den Seitenlängen a ≤ b ≤ c kann a^2 + b^2 = 5·c^2 offensichtlich nie erfüllt sein.

Auch das ist unerheblich. Die Bezeichnungen lassen sich natürlich oBdA vertauschen. Daher habe ich ja auch zusätzlich angegeben, welche Seitenhalbierenden demnach senkrecht zueinanderstehen. Für den konkreten Fall ergibt sich dann eben \(b^2+c^2=5a^2\).

döschwo hat doch recht gut erkannt um was es geht.

Das macht die Formulierung der Aufgabe natürlich perfekt!

Es war nicht meine Wortwahl, sondern die Wortwahl von Paul Eigenmann. Und vielleicht heißen die Aufgaben auch deswegen "Geometrische Denkaufgaben", weil verlangt wird, dass man ein wenig nachdenkt.

Tolle Argumentation. Eine Aufgabe gehört klar und mit korrekter Fachsprache formuliert, um keinen Interpretationsspielraum zu lassen. Das erfüllt deine Aufgabe jedenfalls nicht und eine Denkaufgabe hat auch nichts damit zu tun, darüber nachzudenken, wie eine Aufgabe gemeint sein könnte. Insoferm kann ich den Ausführungen von Karl60 nur zustimmen.

PS: Ich habe diese Aufgabe ohne KI gelöst und selbstständig darüber nachgedacht.

PPS: Wer Langeweile hat, kann ja mal zeigen:

Gilt für die Seiten in einem Dreieck die Beziehung \(a^2+b^2>5c^2\), so ist \(c\) die kürzeste Seite. Gilt auch die Umkehrung?

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@Karl60 Volle Zustimmung.