Differentation: Differentialquotient dα/dτ von tanα=cosφ•tanτ bilden

Question

Aufgabe:

gesucht ist der Diff.quotient dα/dτ von tanα=cosφ•tanτ. τ=variable,φ= const.

Problem/Ansatz:

α=arctan(cosφ•tanτ)

Bitte den Lösungsweg angeben: Funktion ist inplizit etc....

mfGn holdi

Comments

Wieso "implizit"? Du hast doch für α eine explizite Darstellung angegeben.

Answer 1

Kennst du die Ableitung vom Tangens? Wenn nicht, kannst du den Tangens umschreiben und mit der Quotientenregel ableiten

f(x) = TAN(x) = SIN(x)/COS(x)

f'(x) = (COS(x)·COS(x) - SIN(X)·(- SIN(X))) / COS²(x)
f'(x) = (SIN²(x) + COS²(x)) / COS²(x)
f'(x) = 1 / COS²(x)

Kommst du jetzt schon weiter?

TAN(α) = COS(φ)·TAN(τ)

1/COS²(α) dα = COS(φ)·1/COS²(τ) dτ

dα / dτ = COS(φ)·1/COS²(τ) / (1/COS²(α))

dα / dτ = COS(φ)·COS²(α) / COS²(τ)

Kontrolliere das sorgfältig, denn ich bin auch nicht besser als eine KI und mache auch Fehler.

Comments

Danke für Deine Antwort.

Im Text, den ich nicht verstehe, steht als Lösung

dα/dτ = cosφ / (1  - sin²φ•sin²τ).

Ist das dasselbe wie Deine?

Möglicherwise nicht, denn Deine enthält noch einen Term mit α.

mfGn holdi

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Wenn α nicht mehr vorkommen soll ist zu substituieren

COS(α)^2 = 1/(1 + TAN²(α))
= 1/(1 + (COS(φ)·TAN(τ))^2)
= 1/(1 + COS²(φ)·TAN²(τ))

Setzen wir das in meine Ableitung ein

dα / dτ = COS(φ)·COS²(α) / COS²(τ)
= COS(φ)·1/(1 + COS²(φ)·TAN²(τ)) / COS²(τ)
= COS(φ) / (COS²(τ)·(1 + COS²(φ)·TAN²(τ)))
= COS(φ) / (COS²(τ) + COS²(φ)·SIN²(τ))
= COS(φ) / (1 - SIN²(τ) + COS²(φ)·SIN²(τ))
= COS(φ) / (1 - SIN²(τ)·(1 - COS²(φ)))
= COS(φ) / (1 - SIN²(τ)·SIN²(φ))

Das ist das, was die Musterlösung auch angibt.

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Danke, da das nun geprüft ist, kann ich meinen Mustwertext weiter lesen (hoffentlich kommt nicht so schnell der nächste Stolperstein).

Nochmals zu Obigem (Deine erste Antwort):
Du sagst, du hättest die Kettenregel angewendet.
Was das ist, habe ich mir jetzt wieder angeeignet.
Ich erkenne diese aber nicht.
Deine Schreibweise ist mir nicht bekannt.Was ist die äußere Funktion und deren Ableitung und was die innere?

mfGn holdi

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Ich erkenne diese aber nicht.

Sie wird ja auch nicht angewendet. Man sollte nicht alles glauben, was Menschen im Internet schreiben (bzw. immer alles kritisch hinterfragen). Hier findet die Quotientenregel Anwendung. Des Weiteren fehlt im ersten Schritt im Nenner auch das ² beim Cosinus.

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Apfelmännchen:

Danke für Dein Mitlesen.

Mir geht es um diese Zeile: 1/COS²(α) dα = COS(φ)·1/COS²(τ) dτ .

Diese Schreibweise mit   dα  und  dτ  als Multiplikanten ist mir noch nie vorgekommen.

Ich bitte Dich vielmals um Aufklärung.

mfGn holdi

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Apfelmännchen;

Nachtrag zum eben geschriebenen Post.

Der Mathecoach gibt zwei Differenzierungen an.

Zuerst allgemein für den tanx mit der Quotientenregel, was nicht direkt mein Anliegen war (steht in fast jeder Formelsammlung)

Dann differenziert er das, worum ich bat. Abgesehen vom Ergebnis, wofür ich vorzugsweise dankbar bin, möchte ich doch auch verstehen, wie es gemacht wurde. Meine noch offene Frage bezieht sich darauf (wie, welche Regel etc.)

mfGn holdi

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Achso, da.

Dann versuchs mal mit

\(\frac{d}{d\tau}(\tan(\alpha))=\frac{d}{d\tau}\tan(\alpha)\cdot\frac{d\alpha}{d\tau}\) (äußere mal innere Ableitung) bzw.

\(\frac{d}{d\tau}(\cos(\varphi)\tan(\tau))=\frac{\cos(\varphi)}{\cos^2(\tau)}\)

und setze gleich.

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Sorry für die Verwirrung. Natürlich meinte ich die Quotientenregel und nicht die Kettenregel. Ich habe den Begriff oben in meiner Antwort ausgetauscht.

SIN(x)/COS(x) ist ja ein Quotient und keine Verkettung.

Und man kann bei getrennten Variablen, die eine Seite der Gleichung zur einen Variablen ableiten und die andere Seite zur anderen Variablen. Das ist manchmal recht nützlich, wie du siehst.

Das Konzept nennt sich Regel der Trennung der Variablen und tritt auch bei Differenzialgleichungen auf.

Wonach abgeleitet wird steht dann als Term dahinter

Ich mache nochmal ein ganz ganz einfaches Beispiel

y = mx + b
1 dy = m dx

Forme ich das jetzt um erhalte ich das bekannte

dy / dx = m

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Wie ist denn dy eigentlich definiert?

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Apfelmännchen,

pardon, dass ich Deine Äußerungen hinterfrage, obwohl Du das eigentlich nicht gern hast.

Du machst 2 Äußerungen nacheinander ohne Kommentar dazu, wie beide zusammenhängen. Zuerst heißt es "innere mal äußere Abl." (vermutl. Kettenregel, dann "implizites Ableiten" (?-Regel). Welche Abl. schlägst Du mir zum Probieren vor? Eigentlich bin ich aber gar kein Freund von "versuche es mal damit", weil das so aussieht, als sei mathematische Arbeit Versuch und Irrtum. Bei Irrtum machen wir dann einen weiteren Versuch mit irgend einer anderen Empfehlung. usw.

Bei der zweiten Äußerung irritiert mich der Quotient - F_τ/F_α.

mfGn holdi

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nacheinander ohne Kommentar dazu, wie beide zusammenhängen.

In Deiner Aufgabenstellung steht, wie beides zusammenhängt. Außerdem steht zusätzlich

und setze gleich

dabei.

weil das so aussieht, als sei mathematische Arbeit Versuch und Irrtum

Math. Lernen ist Versuch und Irrtum (wie jedes Lernen), das gehört zum Lernen dazu und kann auch nicht übersprungen werden.

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Mathecoach,

pardon, dass ich noch nicht zufrieden bin.

Wie geht das denn "mit rechten Dingen zu", dass die beiden Seiten einer Gleichung voneinander separiert und jede für sich allein, dazu noch jede nach einer anderen Variablen, differenziert und danach einfach wieder zusammengefügt werden?

Wieso stehen d_α bzw. d_τ als Multiplikator (ein jeweils bloßes Erkennungszeichen kann das ja doch nicht sein)  hinter den Ergebnissen?

"ist manchmal recht nützlich" irritiert mich, weil ich Mathematik nicht für einen Krämerladen oder für sonst etwas Profanes halte.

mfGn holdi

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pardon, dass ich Deine Äußerungen hinterfrage, obwohl Du das eigentlich nicht gern hast.

Ich frage mich, woher du das hast. Wenn jemand meine Äußerungen hinterfragt, zeigt das doch, dass sich jemand auch intensiver damit beschäftigt. Das genau ist hier meine Intention, weshalb es hier nur selten vollständige Lösungen von mir gibt. Alles frag ruhig nach, wenn etwas unklar ist.

Du machst 2 Äußerungen nacheinander ohne Kommentar dazu [...] Zuerst heißt es "innere mal äußere Abl."

Ja, damit spiele ich auf die Kettenregel an, ich dachte, das wäre klar. Und nein. An der einen Stelle gehe ich auf deine Kommentare ein und beziehe mich dabei auf die Ausführungen von MC. Das andere ist meine eigene Antwort über die Methode des impliziten Ableitens, siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Implizite_Differentiation.

Da ich deinen Wissensstand nicht kenne, kann ich auch nicht beurteilen, wo genau der Schuh drückt, bzw. ob du das implizite Ableiten überhaupt kennst. Schau in den Link. Falls dich der Quotient dann noch immer irritiert, hake gerne nochmal nach, indem du konkret mitteilst, was unklar ist.

Eigentlich bin ich aber gar kein Freund von "versuche es mal damit"

Mit versuchen meinte ich viel mehr, dass du mit Hilfe meines Kommentars versuchen sollst, die Gleichung von MC, die dir unklar ist, nachzuvollziehen. Es gilt laut deiner Frage der Zusammenhang

\(\tan(\alpha)=\cos(\varphi)\cos(\tau)\).

Es werden einfach nur beide Seiten nach \(\tau\) abgeleitet. Die Ergebnisse stehen in meinem Kommentar obe, weshalb ich dich darum bat, diese gleichzusetze, wodurch man dann auf die dir unklare Gleichung kommen kann.

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dy ist die unendlich kleine Änderung in y-Richtung, während dx die unendlich kleine Änderung in x-Richtung ist.

Wie gesagt, nutzt man die Trennung der Variablen genau wie bei Differenzialgleichungen. Nur dass man dort eben beide Seiten integriert und wir hier beide Seiten ableiten.

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Eine unendlich kleine Zahl - halte ich nicht für besonders wohldefiniert.

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Leibniz hat dx als eine infinitesimale Längeneinheit in x-Richtung interpretiert (vorausgesetzt, x ist eine Länge).

Newton hat Begriffe wie Momente und Fluxionen für seine Methode verwendet. Wie wir wissen, haben sich die Definitionen von Leibniz durchgesetzt, obwohl wir in der Physik noch teilweise die Notation von Newton verwenden.

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@holdi

Verstehst du denn die Implizite_Differentiation?

https://de.wikipedia.org/wiki/Implizite_Differentiation

Dann könnte ich dir anhand der Begründung erklären, warum du auch die Variablen trennen darfst, wie ich es gemacht habe.

Oder vielleicht kannst du es dir dann auch selber herleiten.

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dα / dτ = COS(φ) / (1 - SIN²(τ)·SIN²(φ))

Wie funktioniert der Ersatz von

SIN²(τ)

in obiger Gl. mit

TAN(α) = COS(φ) TAN(α),

um auf
dα / dτ = COS(φ) COS²(α) + SIN²(α) / COS(φ)

zu kommen?

Answer 2

Implizites Ableiten mit

\(F\big(\tau, \alpha(\tau)\big)=\tan\big(\alpha(\tau)\big)-\cos(\varphi)\tan(\tau)\)

ergibt

\(\displaystyle\alpha'(\tau)=-\frac{F_{\tau}\big(\tau, \alpha(\tau)\big)}{F_{\alpha}\big(\tau, \alpha(\tau)\big)}=\frac{\cos(\varphi)}{\cos^2(\tau)\cdot \frac{1}{\cos^2(\alpha(\tau))}}=\frac{\cos(\varphi)\cos^2\big(\alpha(\tau)\big)}{\cos^2(\tau)}\).